Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，交軸于點，點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點.

（1）求線段的長度；

（2）為線段上方拋物線上的任意一點，點為，一動點從點出發(fā)運動到軸上的點，再沿軸運動到點.當四邊形的面積最大時，求的最小值；

（3）將線段沿軸向右平移，設(shè)平移后的線段為，直至平行于軸（點為第2小問中符合題意的點），連接直線.將繞著旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)后、的對應(yīng)點分別為、，在旋轉(zhuǎn)過程中直線與軸交于點，與線段交于點.當是以為腰的等腰三角形時，寫出的長度.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3+；（3）CM=或3或2-或2+.

【解析】

（1）先利用函數(shù)解析式求得A，B，C的坐標，然后利用兩點的距離公式求解即可；

（2）過P作PF平行y軸與BC交于F點，因為△ABC的面積為定值，所以當△PBC的面積最大時，四邊形ABPC的面積就最大，直線BC的解析式為y=﹣x+2，設(shè)P（a，），F(xiàn)（a,﹣a+2），根據(jù)三角形的面積公式得到關(guān)于a的一元二次方程，求得當a=時，四邊形ABPC的面積最大，此時點P為（，2）；過E作直線l與y軸正方向的夾角為45°，過P作直線l的垂線，垂足為H，與y軸的交點即為符合題意的G點，PG+GE的最小值即為線段PH的長度，然后求出PH的長度即可；

（3）如圖2，圖3，過O作OK⊥AC交AC于K點，以O為圓心，OK為半徑畫圓，直線A′C′在旋轉(zhuǎn)過程中始終與☉O相切，由OA·OC=AC·OK得r=OK=，要使△CMN為等腰三角形（MN為腰），分兩種情況進行討論計算即可.

解：（1）令x=0，則y=2，

令y=0，則=0，

解得：x=﹣，或x=2，

∴A（﹣，0），B（2，0），C（0,2），

∴AC=；

（2）如圖，過P作PF平行y軸與BC交于F點，

因為△ABC的面積為定值，所以當△PBC的面積最大時，四邊形ABPC的面積就最大，

直線BC的解析式為y=﹣x+2，

設(shè)P（a，），F(xiàn)（a,﹣a+2），

∴PF=﹣+2a，

則S△PBC=PF·(2﹣0)=﹣a2+2a，

∴當a=時，四邊形ABPC的面積最大，

此時，點P為（，2），

過E作直線l與y軸正方向的夾角為45°，過P作直線l的垂線，垂足為H，

與y軸的交點即為符合題意的G點，PG+GE的最小值即為線段PH的長度，

直線l的解析式為：y=﹣x﹣1，

則直線lPH:y=x+，即點G為（0，），

故PG+GE的最小值為；

（3）CM=或3或2-或2+.

過O作OK⊥AC交AC于K點，以O為圓心，OK為半徑畫圓，直線A′C′在旋轉(zhuǎn)過程中始終與☉O相切，由OA·OC=AC·OK得r=OK=，要使△CMN為等腰三角形（MN為腰），分兩種情況：

①如圖2，當以∠N為頂角，NC=NM，

∵∠1=∠2，

∴tan∠1=tan∠2=2，

在Rt△OK1M1中，OK1=r=，

∴OM1=，即CM1=；

同理，∠1=∠3，OM2=，即CM2=3；

②如圖3，以∠M為頂角，MC=MN，

∵∠1=∠3，

∴tan∠1=tan∠3=2，

在Rt△OHK3中，OK3=r=，則HK3=，

在Rt△OK3M3中，設(shè)OM3=x，則K3M3=x﹣，

∴（x﹣）2+（）2=x2，

解得：x=，

∴CM3=2﹣；

同理可得，OM4=OM3=,

∴CM4=2+.