Question

17．已知拋物線y=x²-（k+2）x+$\frac{5k+2}{4}$和直線y=（k+1）x+（k+1）²．
（1）求證：無(wú)論k取何實(shí)數(shù)值，拋物線總與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）拋物線于x軸交于點(diǎn)A、B，直線y=（k+1）x+（k+1）²與x軸交于點(diǎn)C，設(shè)A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂、x₃，當(dāng)x₁•x₂-x₃=0時(shí)，求k的值．
（3）拋物線于x軸交于點(diǎn)A、B，直線y=（k+1）x+（k+1）²與x軸交于點(diǎn)C，設(shè)A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂、x₃，求x₁•x₂•x₃的最大值；
（4）如果拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的右邊，直線與x軸的交點(diǎn)C在原點(diǎn)的左邊，又拋物線、直線分別交y軸于點(diǎn)D、E，直線AD交直線CE于點(diǎn)G（如圖），且CA•GE=CG•AB，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （2）利用一元二次方程的根的判別式確定出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系確定出x₁•x₂，進(jìn)而建立方程$\frac{5k+2}{4}$-（-k-1）=0，求解即可；
（3）同（2）的方法得出x₁•x₂•x₃的關(guān)系式，從而求出最大值；
（4）由CA•GE=CG•AB得出△CAG∽△CBE，進(jìn)而判斷出△OAD∽△OBE得出OA：OB=OD：OE，建立方程求解即可．

解答 解：（1）證明：∵△=（k+2）²-4×1×$\frac{5k+2}{4}$=k²-k+2=（k-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
∵（k-$\frac{1}{2}$）²≥0，
∴△＞0，
故無(wú)論k取何實(shí)數(shù)值，拋物線總與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）y=（k+1）x+（k+1）²=（k+1）（x+k+1）
∴x₃=-k-1，
∵拋物線y=x²-（k+2）x+$\frac{5k+2}{4}$與x軸交于點(diǎn)A，B，
∴x₁•x₂₌$\frac{5k+2}{4}$，
∵x₁•x₂-x₃=0
∴$\frac{5k+2}{4}$-（-k-1）=0，
∴k=$-\frac{2}{3}$
（3）∵拋物線于x軸交于點(diǎn)A、B，
直線與x軸交于點(diǎn)C，設(shè)A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂、x₃，
∴x₁•x₂=$\frac{5k+2}{4}$，令0=（k+1）x+（k+1）²，
得：x=-（k+1），即x₃=-（k+1），
∴x₁•x₂•x₃=-（k+1）•$\frac{5k+2}{4}$=-$\frac{5}{4}$（k+$\frac{7}{10}$）²+$\frac{9}{80}$，
∴x₁•x₂•x₃的最大值為：$\frac{9}{80}$；
（4）∵CA•GE=CG•AB，
∴CA：CB=CG：CE，
∵∠ACG=∠BCE，
∴△CAG∽△CBE，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠AOD=∠BOE，
∴△OAD∽△OBE，
∴OA：OB=OD：OE，
∵拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的右邊，
直線與x軸的交點(diǎn)C在原點(diǎn)的左邊，
又拋物線、直線分別交y軸于點(diǎn)D、E，
∴OA•OB=$\frac{5k+2}{4}$，OD=$\frac{5k+2}{4}$，OE=（k+1）²，
∴OA•OB=OD，由OA：OB=OD：OE
∴OA：OB=（OA•OB）：OE，
∴OB²=OE，
∴OB=k+1，
∴點(diǎn)B（k+1，0），
將點(diǎn)B代入拋物線y=x²-（k+2）x+$\frac{5k+2}{4}$得：
（k+1）²-（k+2）（k+1）-$\frac{5k+2}{4}$=0，
解得：k=2，
∴拋物線的解析式為：y=x²-4x+3．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查來(lái)了一元二次方程的根的判別式，二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理解決問題．