Question

如圖，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D為AC邊上中點，過D點作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F． 請解答下列問題：
（1）連結(jié)BD，試說明∠BDE=∠CDF；
（2）求證：BE=FC；
（2）若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）因為DE⊥DF，所以∠EDF=∠BDC=90°，所以∠BDE+∠BDF=∠BDF+∠CDF，即∠BDE=∠CDF；
（2）由等腰三角形“三線合一”得∠EBD=∠DBC=

1

2

∠ABC=45°=∠C，再通過證明△DEB≌△DFC，即可得到BE=FC；
（3）在Rt△EBF中，利用勾股定理即可求出EF的長．

解答：解：（1）∵等腰三角形ABC中，∠ABC=90°
∴AB=BC，∠A=∠C=45°，
∵D是AC邊上中點，
∴BD⊥AC，
又∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠BDC=90°，
∴∠BDE+∠BDF=∠BDF+∠CDF，
即∠BDE=∠CDF；

（2）由等腰三角形“三線合一”得∠EBD=∠DBC=

1

2

∠ABC=45°=∠C，
∴DB=DC，
在△DEB和△DFC中，

∠BDE=∠CDF DB=DC ∠EBD=∠C

，
∴△DEB≌△DFC（ASA），
∴EB=FC；

（3）EB=FC=3，AB=BC=7，BF=BC-FC=4，
在Rt△EBF中，∠B=90°，EF=

EB2+BF2

=

32+42

=5．

點評：此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的理解和掌握和勾股定理的運用，稍微有點難度，屬于中檔題