Question

18．如圖，射線QN與邊長為8的等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且AC∥QN．動點P從點Q出發(fā)，沿射線QN以每秒2cm的速度向右移動，以點P為圓心，2$\sqrt{3}$cm為半徑的圓也隨之移動．若AM=MB=4cm，QM=8cm，且經過t秒，當⊙P與△ABC的邊相切時，則t可取的一切值為t=2或3≤t≤7或t=8（單位：秒）．

Answer 1

分析 求出AB=AC=BC=8cm，MN=$\frac{1}{2}$AC=4cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分為三種情況：畫出圖形，結合圖形求出即可．

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥AC，AM=BM．
∴N為BC中點，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC=4cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，
分為三種情況：
①如圖1，

當⊙P切AB于M′時，連接PM′，
則PM′=$\sqrt{3}$cm，∠PM′M=90°，
∵∠PMM′=∠BMN=60°，
∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，
∴QP=4cm-2cm=2cm，
即t=2；
②如圖2，

當⊙P于AC切于A點時，連接PA，
則∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=$\sqrt{3}$cm，
∴PM=1cm，
∴QP=4cm-1cm=3cm，
即t=3，
當⊙P于AC切于C點時，連接P′C，
則∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=$\sqrt{3}$cm，
∴P′N=1cm，
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，
即當3≤t≤7時，⊙P和AC邊相切；
③如圖3，

當⊙P切BC于N′時，連接PN′
則PN′=$\sqrt{3}$cm，∠PN′N=90°，
∵∠PNN′=∠BNM=60°，
∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，
∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，
即t=8；
注意：由于對稱性可知，當P點運動到AB右側時也存在⊙P切AB，此時PM也是為2，即P點為N點，同理可得P點在M點時，⊙P切BC．這兩點都在第二種情況運動時間內．
故答案為t=2或3≤t≤7或t=8．

點評 本題考查了等邊三角形的性質，平行線的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形性質，切線的性質的應用，主要考查學生綜合運用定理進行計算的能力，注意要進行分類討論啊．