【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點O,點A(6,﹣6 ),且以y軸為對稱軸.

(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,過點B(0,﹣ )作x軸的平行線l,點C在直線l上,點D在y軸左側(cè)的拋物線上,連接DB,以點D為圓心,以DB為半徑畫圓,⊙D與x軸相交于點M,N(點M在點N的左側(cè)),連接CN,當(dāng)MN=CN時,求銳角∠MNC的度數(shù);

(3)如圖3,在(2)的條件下,平移直線CN經(jīng)過點A,與拋物線相交于另一點E,過點A作x軸的平行線m,過點(﹣3,0)作y軸的平行線n,直線m與直線n相交于點S,點R在直線n上,點P在EA的延長線上,連接SP,以SP為邊向上作等邊△SPQ,連接RQ,PR,若∠QRS=60°,線段PR的中點K恰好落在拋物線上,求Q點坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:設(shè)過坐標(biāo)原點O,點A(6,﹣6 ),且以y軸為對稱軸的拋物線為y=ax2,

則﹣6 =36a,

∴a=﹣ ,

∴y=﹣ x2


(2)

解:如圖2中,作CF⊥MN于F,設(shè)⊙D與x軸的交點為(x,0),D(m,﹣ m2).

則有(x﹣m)2+( m22=m2+(﹣ m2+ 2,

整理得x2﹣2mx+m2﹣3=0,

∴x=m+ 或m﹣ ,

∴N(m+ ,0),M(m﹣ ,0)

∴MN=2 ,

在Rt△CFN中,∵∠CFN=90°,CN=MN=2 ,CF= ,

∴CN=2CF,

∴∠CNF=30°


(3)

解:如圖3中,

由題意可知平移直線CN經(jīng)過點A的直線的解析式為y= x﹣8 ,

記直線y= x﹣8 與直線x=﹣3的交點為G,則G(﹣3,﹣9 ),

∵m∥x軸,且過點A(6,﹣6 ),

∴S(﹣3,﹣6 ),

∴SG=3 ,AS=9,

∴tan∠2= =

∴∠2=60°,

∴∠1=30°,

∵∠QRS=60°

∴∠QRS=∠2,

∵∠RSQ+∠QSP=∠2+∠SPG,∠QSP=∠2=60°,

∴∠3=∠4,

在△SQR和△PSG中,

,

∴△SQR≌△PSH

∴SR=PG,RQ=SG,

∴RQ=SG=3 ,作DQ⊥n于D,

∴QRD=60°,

∴DQ= DR= RQ= ,

∴RD= QR=

∵n是過(﹣3,0)與y軸平行的直線,設(shè)R(﹣3,b),記n與x軸的交點為M,則RM=b,

∵S(﹣3,﹣6 ),

∴MS=6 ,

∴SR=RM+MS=b+6 =PG,作PH⊥n于H,

∵∠2=60°,

∴GH= PG= (b+6 ),

∴MH=MG﹣HG=9 (b+6 )=6 b,

∴P(6+ b, b﹣6 ),

∵K是PR中點,

∴K( + b, b﹣3 ),

為了方便,記K(x,y),即x= + b,y= b﹣3 ,消去b得y= x﹣ ,

∴中點K在直線y= 上運動,

消去y得到x2+6x﹣27=0,

∴x=3或﹣9(舍棄),

∴x=3,代入x= + b得到b=2 ,

∴RM=2 ,DM=RM﹣RD=2 =

﹣3= ,

∴點Q的坐標(biāo)為( ,


【解析】(1)設(shè)過坐標(biāo)原點O,點A(6,﹣6 ),且以y軸為對稱軸的拋物線為y=ax2 , 點A代入求出a即可.(2)如圖2中,作CF⊥MN于F,設(shè)⊙D與x軸的交點為(x,0),D(m,﹣ m2),根據(jù)半徑相等列出方程,求出M、N坐標(biāo),推出MN=2 ,在Rt△CFN中,由CN=2CF推出∠FNC=30°即可解決問題.(3)如圖3中,由題意可知平移直線CN經(jīng)過點A的直線的解析式為y= x﹣8 ,記直線y= x﹣8 與直線x=﹣3的交點為G,則G(﹣3,﹣9 ),由△SQR≌△PSH,推出SR=PG,RQ=SG,推出RQ=SG=3 ,作DQ⊥n于D,記n與x軸的交點為M,則RM=b,由S(﹣3,﹣6 ),推出MS=6 ,可得P(6+ b, b﹣6 ),再求出PR中點k坐標(biāo),證明k在直線y= 上運動,由 消去y得到x2+6x﹣27=0,x=3或﹣9(舍棄),x=3,代入x= + b得到b=2 ,由此即可解決問題.
【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.

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探索延伸:

如圖2,若在四邊形ABCD中,ABAD,BD180°EF分別是BC、CD上的點,且∠EAFBAD,上述結(jié)論是否仍然成立,并說明理由;

實際應(yīng)用:

如圖3,在某次軍事演習(xí)中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西30°A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動指令后,艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進,艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進1.5小時后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E,F處,且兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時兩艦艇之間的距離?

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(2)如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分別是BC、CD上的點,且∠EAF= ∠BAD,線段BE、EF、FD之間存在什么數(shù)量關(guān)系,為什么?

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(理解)若點D與點A重合,則這個操作過程為FZ [45°,3];

(嘗試)

(1)若點D恰為AB的中點(如圖2),求θ;

(2)經(jīng)過FZ[45°,a]操作,點B落在點E處,若點E在四邊形OABC的邊AB上(如圖3),求出a的值;若點E落在四邊形OABC的外部,直接寫出a的取值范圍.

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(3)通過計算加以判斷,PP2的長會不會隨點P位置的變化而變化.

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