Question

已知：如圖1，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE，點D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=90°．
（1）求證：△CAB≌△ECD．
（2）分別以圖1中的AB、AC、DE為邊作正方形，得圖2，已知正方形a、c的面積分別為11和5，求正方形b的面積．

（3）在直線l上依次擺放著4027個正方形（如圖3）．已知斜著放置的2013個正方形的面積分別是1、2、3、…、2013，正放置的2014個正方形的面積依次是S₁、S₂、S₃、S₄、…、S₂₀₁₄，請猜想：S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AC=EC，利用AAS即可得證；
（2）由（1）的全等三角形對應(yīng)邊相等得到BC=ED，AB=CD，根據(jù)正方形a與c的面積求出AB與BC的長，利用勾股定理求出AC的長，即可確定出正方形b的面積；
（3）根據(jù)（2）得出一般性規(guī)律，即可確定出所求式子的值．

解答：解：（1）∵∠ACE=∠B=∠D=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠DCE=∠BAC，
在△ABC和△CDE中，

∠B=∠D=90° ∠DCE=∠BAC AC=EC

，
∴△ABC≌△CDE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△CDE，
∴AB=CD，BC=ED，
∵正方形a、c的面積分別為11和5，
∴AB=CD=

11

，BC=ED=

5

，
根據(jù)勾股定理得：正方形b的邊長為

11+5

=4，
則正方形b的面積為16；
（3）根據(jù)（2）得：正方形a面積+正方形c的面積=正方形b的面積，
由題意得：S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₂₀₁₄=1+3+…+2013=1007×1+

1007×1006

2

×2=1014049．
故答案為：（3）1014049．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．