Question

19．在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=kx+k（k＞0）與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點A的拋物線y=x²+bx+c與x軸交于另一點P
（1）若拋物線y=x²+bx+c與直線y=kx+k的另一個交點恰好為點B，求k與b的關(guān)系式；
（2）當b-2k=3時，若點P到直線y=kx+k的距離為d，試比較$d\sqrt{1+{k^2}}$與OB+2b的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由一次函數(shù)解析式即可求得A、B兩點的坐標，然后分別代入拋物線的解析式即可求出k與b的關(guān)系式；
（2）當b=2k+3時，再由A點的坐標即可求得拋物線的解析式為y=x²+（2k+3）x+2k+2，然后令y=0即可求出點P的坐標，利用點A與點P的坐標即可求出AP長度，利用tan∠OAB即可求出d=AP•sin∠OAB，利用作差法求出d$\sqrt{1+{k}^{2}}$-OB-2b與0大小關(guān)系即可．

解答 解：（1）令y=0代入y=kx+k，
∴kx+k=0，
∴x=-1，
∴A（-1，0），
令x=0代入y=kx+k，
∴y=k，
∴B（0，k），
若拋物線y=x²+bx+c與直線y=kx+k的另一個交點恰好為點B時，
此時k=c，
把（-1，0）代入y=x²+bx+k，
∴k=b-1；

（2）把（-1，0）代入y=x²+bx+c，
∴0=1-b+c，
∴y=x²+b+b-1，
又∵b=2k+3，
∴y=x²+（2k+3）x+2k+2，
令y=0代入y=x²+（2k+3）x+2k+2，
可得（x+1）（x+2k+2）=0，
∴x=-1或者x=-2k-2，
∴P（-2k-2，0），
由（1）可知：B（0，k），A（-1，0）
∴OB=k，OA=1
∴tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=k，
∴sin∠OAB=$\frac{k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∵sin∠OAB=$\fracyf4qjrt{AP}$，
∴d=AP•sin∠OAB
∵-2k-2＜-1，
∴AP=-1-（-2k-2）=2k+1，
∴d=$\frac{（2k+1）k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴d$\sqrt{1+{k}^{2}}$-OB-2b
=（2k+1）k-k-2（3+2k）
=2k²-4k-6
當0＜k＜3時
2k²-4k-6＜0
此時d$\sqrt{1+{k}^{2}}$＜OB+2b，
當k=3時，
2k²-4k-6=0，
d$\sqrt{1+{k}^{2}}$=OB+2b，
當k＞3時，
2k²-4k-6＞0，
此時d$\sqrt{1+{k}^{2}}$＞OB+2b
綜上所述，當0＜k＜3時，d$\sqrt{1+{k}^{2}}$＜OB+2b；當k=3時，d$\sqrt{1+{k}^{2}}$=OB+2b，當k＞3時，d$\sqrt{1+{k}^{2}}$＞OB+2b

點評 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，綜合運用了銳角三角函數(shù)，一元二次方程的解法等知識，綜合程度較高，考察學生的綜合運用知識的能力．