Question

4．（1）已知方程x²+px+q=0（p²-4q≥0）的兩根為x₁，x₂．求證：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．
（2）已知拋物線y=x²+px+q與x軸交于點A、B，且過點（-2，3），設(shè)線段AB的長為d．當(dāng)p為何值時，d²取得最小值并求出該最小值．

Answer 1

分析 （1）由求根公式可得出兩根的表達(dá)式，然后將其相加和相乘后，即可得出答案；
（2）設(shè)A、B兩點的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，所以d²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，由（1）的結(jié)論即可得出d²與p的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的理論即可求出d²的最小值．

解答 解：（1）∵△=p²-4q≥0，
∴由求根公式可知：x₁=$\frac{-p+\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}$，x₂=$\frac{-p-\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}$；
∴x₁+x₂=$\frac{-p+\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}$+$\frac{-p-\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}$=-p，
x₁x₂=$\frac{-p+\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}$×$\frac{-p-\sqrt{{p}^{2}-4q}}{2}$=q；

（2）把（-2，3）代入y=x²+px+q，
∴3=4-2p+q，
∴q=2p-1，
設(shè)A、B兩點的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
令y=0，
∴x²+px+q=0，
∴由（1）可知：x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，
∴d²=（x₁-x₂）²
=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=p²-4q
=p²-8p+4
=（p-4）²-12
∴d²的最小值為0，
此時p=4±2$\sqrt{3}$
當(dāng)p=4+2$\sqrt{3}$時，
q=4$\sqrt{3}$+7，
滿足p²=4q，
當(dāng)p=4-2$\sqrt{3}$，
q=-4$\sqrt{3}$-7，
∴p²＞4q．
綜上所述，當(dāng)p=4±2$\sqrt{3}$時，d²的最小值為0．

點評 本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，綜合程度較高，需要學(xué)生聯(lián)系根與系數(shù)的關(guān)系才能解答，考察學(xué)生運算能力和綜合運用能力．