Question

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．求證：AM=

1

2

（AB+AC）．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：延長(zhǎng)AM至N，使DM=MN，連接CN，求得CD=CN，得出∠ANC=∠ACN，進(jìn)而求得AC=AN，所以AB+AC=AD+AN=AD+AM+MN=AD+AM+DM=2AM，即可求得結(jié)論．

解答：證明：延長(zhǎng)AM至N，使DM=MN，連接CN，
∵CM⊥AD，DM=MN，
∴CN=CD，
∴∠CDN=∠DNC，
∴∠DNC=∠ADB，
∵AD=AB，
∴∠B=∠ADB，
∴∠B=∠ANC，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠ADB=∠ACN，
∴∠ANC=∠ACN，
∴AN=AC，
∴AB+AC=AD+AN=AD+AM+MN=AD+AM+DM=2AM，
∴AM=

1

2

（AB+AC）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段的垂直平方線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角的平分線的性質(zhì)；此題利用輔助線構(gòu)造等腰三角形，得出AN=AC是關(guān)鍵．