【題目】如圖,D為Rt△ABC斜邊AB上一點(diǎn),以CD為直徑的圓分別交△ABC三邊于E、F、G三點(diǎn),連接FE,F(xiàn)G.
(1)求證:∠EFG=∠B;
(2)若AC=2BC=4 ,D為AE的中點(diǎn),求FG的長.

【答案】
(1)證明:連接EC,如圖1所示.

∵CD為直徑,

∴∠AEC=90°,

∴∠BCE+∠B=90°.

∵∠BCE+∠ECA=90°,

∴∠B=∠ECA.

又∵∠ECA=∠EFG,

∴∠EFG=∠B


(2)解:在Rt△BCA中,AC=4 ,BC=2 ,

∴AB= =10.

∵BCAC=ABCE,

∴CE=4.

∵tan∠A= = = ,

∴AE=2CE=8.

在Rt△DCG中,CE=4,ED= AE=4,

∴CD= =4

連接FD、DG,如圖2所示.

∵CD是直徑,

∴∠CFD=∠CGD=90°,

又∵∠FCG=90°,

∴四邊形FCGD為矩形,

∴FG=CD=4


【解析】(1)連接EC,則∠AEC=90°,由同角的余角相等即可得出∠B=∠ECA,再根據(jù)圓周角定理即可得出∠ECA=∠EFG,由此即可證出∠EFG=∠B;(2)由AC、BC的長度利用勾股定理即可求出AB的長度,結(jié)合面積法即可得出CE的長度,由正切即可得出AE的長度,再利用勾股定理可求出CD的長度,連接FD、DG,由矩形的判定定理即可證出四邊形FCGD為矩形,利用矩形的性質(zhì)即可得出FG=CD,此題得解.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和圓周角定理的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,點(diǎn)AB,C在同一直線上,在這條直線同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE,連接AECD,交點(diǎn)為M,AEBD于點(diǎn)P,CDBE于點(diǎn)Q,連接PQ、BM4個(gè)結(jié)論:①△ABE≌△DBC,②△DQB≌△ABP,③∠EAC=30°④∠AMC=120°,請將所有正確結(jié)論的序號填在橫線上______.

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(1)求A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)結(jié)合A、B、C的坐標(biāo),在圖中建立平面直角坐標(biāo)系;

(3)在(2)的條件下,若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),請直接寫出使△PBC周長最小的點(diǎn)P的坐標(biāo).

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)圖1中a的值為 ;

)求統(tǒng)計(jì)的這組初賽成績數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);

)根據(jù)這組初賽成績,由高到低確定9人進(jìn)入復(fù)賽,請直接寫出初賽成績?yōu)?.65m的運(yùn)動(dòng)員能否進(jìn)入復(fù)賽.

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(3)如圖2,過點(diǎn)E(1,﹣1)作EF⊥x軸于點(diǎn)F,將△AEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得△MNQ(點(diǎn)M、N、Q分別與A、E、F對應(yīng))使得M、N在拋物線上,求M、N的坐標(biāo).

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小偉遇到這樣一個(gè)問題:如圖1,在ABC(其中∠BAC是一個(gè)可以變化的角)中,AB=2,AC=4,以BC為邊在BC的下方作等邊PBC,求AP的最大值.

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請你回答:AP的最大值是   

參考小偉同學(xué)思考問題的方法,解決下列問題:

如圖3,等腰RtABC.邊AB=4,PABC內(nèi)部一點(diǎn),則AP+BP+CP的最小值是   .(結(jié)果可以不化簡)

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數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師出了一道作圖問題:如圖,已知直線l和直線l外一點(diǎn)P.用直尺和圓規(guī)作直線PQ,使PQ⊥l于點(diǎn)Q.”

小艾的作法如下:

(1)在直線l上任取點(diǎn)A,以A為圓心,AP長為半徑畫。

(2)在直線l上任取點(diǎn)B,以B為圓心,BP長為半徑畫。

(3)兩弧分別交于點(diǎn)P和點(diǎn)M

(4)連接PM,與直線l交于點(diǎn)Q,直線PQ即為所求.

老師表揚(yáng)了小艾的作法是對的.

請回答:小艾這樣作圖的依據(jù)是_____

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