Question

【題目】如圖所示，AB是⊙O的直徑，AM、BN是⊙O的兩條切線，D、C分別在AM、BN上，DC切⊙O于點(diǎn)E，連接OD、OC、BE、AE，BE與OC相交于點(diǎn)P，AE與OD相交于點(diǎn)Q，已知AD=4，BC=9，以下結(jié)論：
①⊙O的半徑為 ②OD∥BE ③PB= ④tan∠CEP=
其中正確結(jié)論有（ ）

A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C
【解析】解：作DK⊥BC于K，連接OE．
∵AD、BC是切線，
∴∠DAB=∠ABK=∠DKB=90°，
∴四邊形ABKD是矩形，
∴DK=AB，AD=BK=4，
∵CD是切線，
∴DA=DE，CE=CB=9，
在RT△DKC中，∵DC=DE+CE=13，CK=BC﹣BK=5，
∴DK= =12，
∴AB=DK=12，
∴⊙O半徑為6．故①錯(cuò)誤，
∵DA=DE，OA=OE，
∴OD垂直平分AE，同理OC垂直平分BE，
∴AQ=QE，∵AO=OB，
∴OD∥BE，故②正確．
在RT△OBC中，PB= = = ，故③正確，
∵CE=CB，
∴∠CEB=∠CBE，
∴tan∠CEP=tan∠CBP= = = ，故④正確，
∴②③④正確，
故選C．

本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、切線長(zhǎng)定理、勾股定理、三角形中位線性質(zhì)、直角三角形斜邊上的高的求法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，熟練掌握切線長(zhǎng)定理，屬于中考�？碱}型．作DK⊥BC于K，連接OE，①錯(cuò)誤，在RT△CDK中，利用勾股定理求得DK=12，故錯(cuò)誤．②正確．可以證明AQ=QE，AO=OB，由此得出結(jié)論．③正確．根據(jù)PB= 計(jì)算即可．④正確．根據(jù)tan∠CEP=tan∠CBP= 計(jì)算即可．