Question

10．已知，拋物線y=-x²+2x+3與y軸交于A點(diǎn)與x軸正半軸交于A′，點(diǎn)M為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)M在何處時(shí)，△AMA′的面積最大，最大面積為多少．

Answer 1

分析 連接OM，由二次函數(shù)的解析式求出A′坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積求出△AMA′的面積，配方即可得到△AMA'的最大面積和M的坐標(biāo)．

解答 解：連接OM，如圖所示：
由y=0得：-x²+2x+3=0，
解得：x=-1，或x=3，
∴A′（3，0），
設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為：（m，n），
∵點(diǎn)M在拋物線上，
∴n=-m²+2m+3，
∴S_△AMA′=S_△AMO+S_△OMA′-S_△AOA′
=$\frac{1}{2}$OA•m+$\frac{1}{2}$OA′•n-$\frac{1}{2}$OA•OA′
=$\frac{3}{2}$（m+n）-$\frac{9}{2}$=$\frac{3}{2}$（m+n-3），
將n=-m²+2m+3代入，原式=-$\frac{3}{2}$（m²-3m）=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵0＜m＜3，
∵m=$\frac{3}{2}$時(shí)，n=$\frac{15}{4}$，△AMA'的面積最大S_△AMA'=$\frac{27}{8}$，
∴M（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
即M的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）時(shí)，△AMA′的面積最大，最大面積為$\frac{27}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題、三角形面積的計(jì)算；綜合性強(qiáng)，求出三角形的面積是關(guān)于m的二次函數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．