Question

在第一象限內作射線OC，與x軸的夾角為60°，在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸于點H，在拋物線y=x²（x＞0）上取一點P，在y軸上取一點Q，使得以P、O、Q為頂點的三角形與△AOH全等，則符合條件的點A的坐標是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：由于兩三角形的對應邊不能確定，故應分四種情況進行討論：
①∠POQ=∠OAH=30°，此時A、P重合，可聯(lián)立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點坐標，由三角形的面積公式即可得出結論；
②∠POQ=∠AOH=60°，此時∠POH=30°，即直線OP：y=

3

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式可得P點坐標，進而可求出OQ、PQ的長，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點A的坐標，由三角形的面積公式即可得出結論；
③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時，此時△QOP≌△AOH，得到點A的坐標，由三角形的面積公式即可得出結論；
④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時△OQP≌△AOH，得到點A的坐標，由三角形的面積公式即可得出結論．

解答：解：①如圖1，當∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；
∵∠AOH=60°，
∴直線OA：y=

3

x，
聯(lián)立拋物線的解析式得：

y= 3 x y=x2

，
解得：

x=0 y=0

或

x= 3 y=3

，
故A（

3

，3）；
②當∠POQ=∠AOH=60°，此時△POQ≌△AOH，
易知∠POH=30°，則直線y=

3

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：

y= 3 3 x y=x2

，
解得：

x=0 y=0

或

x= 3 3 y= 1 3

，
故P（

3

3

，

1

3

），那么A（

1

3

，

3

3

）；
③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°時，此時△QOP≌△AOH；
易知∠POH=30°，則直線y=

3

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：

y= 3 3 x y=x2

，
解得：

x=0 y=0

或

x= 3 3 y= 1 3

，
故P（

3

3

，

1

3

），
∴OP=

( 3 3 )2+( 1 3 )2

=

2

3

，QP=

2 3

3

，
∴OH=OP=

2

3

，AH=QP=

2 3

3

，
故A（

2

3

，

2 3

3

）；
④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此時△OQP≌△AOH；
此時直線y=

3

x，聯(lián)立拋物線的解析式，
得：

y= 3 x y=x2

，
解得：

x=0 y=0

或

x= 3 y=3

，
∴P（

3

，3），
∴QP=2，OP=2

3

，
∴OH=QP=2，AH=OP=2

3

，
故A（2，2

3

）．
綜上可知：符合條件的點A有四個，分別為：（

3

，3）或（

1

3

，

3

3

）或（

2

3

，

2 3

3

）或（2，2

3

）．
故答案為：（

3

，3）或（

1

3

，

3

3

）或（

2

3

，

2 3

3

）或（2，2

3

）．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到全等三角形的判定和性質以及函數(shù)圖象交點坐標的求法，解答此題時一定要注意進行分類討論．