Question

已知△ABC中，∠C=90°，∠B=60°．
操作：將△ABC繞點B逆時針旋轉α°，得到△DBE，DE的延長線與AC相交于點F，連接BF，
（1）若∠α=60°，請你先在圖1中畫出圖形，再猜想線段DF與BC的數(shù)量關系，并證明你的猜想；
（2）若∠α＜60°，請你先在圖2中畫出圖形，再探究線段DF與BC邊的數(shù)量關系是

 

（直接寫出答案，用含α的式子表示）

Answer 1

考點：作圖-旋轉變換,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形，由旋轉可知△ABC≌△DBE，根據(jù)∠DBE=∠ABC=60°可知∠D=∠A=30°，故可得出Rt△FEB≌Rt△FCB，由此可得出結論；
（2）同（1）可得Rt△FEB≌Rt△FCB，由DF=DE+EF即可得出結論．

解答：解：（1）如圖1所示，
猜想：DF=

4 3

3

BC．
由旋轉可知△ABC≌△DBE，
∵∠DBE=∠ABC=60°
∴∠D=∠A=30°
∵∠DEB=∠ACB=90°，DE=AC，BE=BC，
∴∠FEB=∠ACB=90°，
在Rt△FEB與Rt△FCB中，
∵

BE=BC BF=BF

∴Rt△FEB≌Rt△FCB（HL），
∴∠FBE=∠FBC=30°，∠DBF=90°．
設CF=x，BF=2x，DF=4x，BC=

3

x，
∴DF=

4 3

3

BC．

（2）如圖2所示，
∵同（1）可得，DE=AC=

3

BC，Rt△FEB≌Rt△FCB，
∴CF=EF=tan

α

2

BC，
∴DF=DE+EF=（

3

+tan

α

2

）BC．
故答案為：（

3

+tan

α

2

）BC．

點評：本題考查的是作圖-旋轉變換，熟知圖形旋轉不變性的性質是解答此題的關鍵．