Question

已知：如圖，在△ABC中，∠C=Rt∠，AB=10cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊CB以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AC以1cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．若設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；
（2）在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使直線PQ平分△ABC的面積？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在整個(gè)移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t=

 

秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相距最近，最近的距離是

 

cm．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)，在直角△CPQ中利用勾股定理即可求解；
（2）直線PQ平分△ABC的面積，則S_△CPQ=

1

2

S_△ABC，據(jù)此即可列方程求得t的值；
（3）根據(jù)勾股定理，利用t表示出PQ²的長(zhǎng)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AC=

102-62

=8，
則當(dāng)t=1時(shí)，CP=2，CQ=AC-AQ=7，
∴PQ=

72+22

=

53

（cm）；
（2）假設(shè)存在，則

1

2

×2t×(8-t)=

1

2

×

1

2

×6×8，
解得：t₁=2，t₂=6，
因?yàn)?≤t≤3，所以存在，此時(shí)t=2．
（3）PQ²=（2t）²+（8-t）²=5t²-16t+64，
則t=-

-16

10

=

8

5

時(shí)，PQ²取得最小值，是

4×5×64-162

20

=

256

5

，則PQ的最小值是

256 5

=

16 5

5

．
故答案是：

8

5

，

16

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理以及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題．