Question

【題目】（題文）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與拋物線相交于A（1，），B（4，0）兩點(diǎn)．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作PM∥OA，交第一象限內(nèi)的拋物線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)N，若△BCN、△PMN的面積S△BCN、S△PMN滿足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（1，0）或（0，）或（0，）；（3），M（，）．

【解析】

（1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）分D在x軸上和y軸上，當(dāng)D在x軸上時(shí)，過A作AD⊥x軸，垂足D即為所求；當(dāng)D點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，d），可分別表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到關(guān)于d的方程，可求得d的值，從而可求得滿足條件的D點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）過P作PF⊥CM于點(diǎn)F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函數(shù)，可用PF分別表示出MF和NF，從而可表示出MN，設(shè)BC=a，則可用a表示出CN，再利用S△BCN=2S△PMN，可用PF表示出a的值，從而可用PF表示出CN，可求得的值；借助a可表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得a的值，從而可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵A（1，），B（4，0）在拋物線的圖象上，∴，解得，∴拋物線解析式為；

（2）存在三個(gè)點(diǎn)滿足題意，理由如下：

①當(dāng)點(diǎn)D在x軸上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，∵A（1，），

∴D坐標(biāo)為（1，0）；

②當(dāng)點(diǎn)D在y軸上時(shí)，設(shè)D（0，d），

則，，

且，

∵△ABD是以AB為斜邊的直角三角形，∴

，即，

解得d=，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，）；

綜上可知存在滿足條件的D點(diǎn)，其坐標(biāo)為（1，0）或（0，）或（0，）；

（3）如圖2，過P作PF⊥CM于點(diǎn)F，

∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，

∴=，∴MF=PF，

在Rt△ABD中，BD=3，AD=，

∴tan∠ABD=，∴∠ABD=60°，

設(shè)BC=a，則CN=a，

在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，

∴tan∠PNF=，

∴FN=PF，∴MN=MF+FN=PF，

∵S△BCN=2S△PMN，

∴，

∴a=PF，

∴NC=a=PF，

∴==，

∴MN=NC==a，

∴MC=MN+NC=（）a，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（4﹣a，（）a），

又M點(diǎn)在拋物線上，代入可得=（）a，解得a=或a=0（舍去），OC=4﹣a=，MC=，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．