Question

3．如圖，在△ABC中，AB=AC=4，BD是△ABC的中線，∠ADB=120°，點E在中線BD的延長線上，則△ACE是直角三角形時，DE的長為2或4．

Answer 1

分析 △ACE為直角三角形分∠CAE=90°、∠AEC=90°以及∠ACE=90°三種情況考慮，通過解直角三角形以及特殊角的三角函數(shù)值即可求出DE長，此題得解．

解答 解：△ACE為直角三角形分三種情況：
①當∠CAE=90°時，
∵∠ADB=120°，
∴∠ADE=60°，∠AED=30°．
∵AB=AC=4，BD是△ABC的中線，
∴AD=CD=2．
∴DE=$\frac{AD}{sin∠AED}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4；
②當∠AEC=90°時，
∵ED是△EAC的中線，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=2；
③當∠ACE=90°時，
∵∠ADB=120°，
∴∠CDE=90°，
此時∠DCE+∠CDE=90°+120°=210°＞180°，
∴∠ACE≠90°．
綜上可知：DE的長為2或4．
故答案為：2或4．

點評 本題考查了解直角三角形以及特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是分三種情況考慮△ACE為直角三角形的情況．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，利用特殊角的三角函數(shù)值解決問題是關鍵．