1.如圖,拋物線y=x2+bx+c與直線y=$\frac{1}{2}$x-3交于A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A在y軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(-4,-5),點(diǎn)P為y軸左側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)以O(shè),A,P,D為頂點(diǎn)的平行四邊形是否存在?如存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到直線AB下方某一處時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB,垂足為M,連接PA使△PAM為等腰直角三角形,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析 (1)先確定出點(diǎn)A坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法求拋物線解析式;
(2)先確定出PD=|m2+4m|,當(dāng)PD=OA=3,故存在以O(shè),A,P,D為頂點(diǎn)的平行四邊形,得到|m2+4m|=3,分兩種情況進(jìn)行討論計(jì)算即可;
(3)方法1、由△PAM為等腰直角三角形,得到∠BAP=45°,從而求出直線AP的解析式,最后求出直線AP和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.
方法2、先求出AE=3$\sqrt{5}$,AF=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$,再用角平分線定理即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
方法3、先判斷出△PMQ≌△AMN,進(jìn)而求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),再代入拋物線解析式即可.

解答 解:(1)∵直線y=$\frac{1}{2}$x-3交于A、B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A在y軸上,
∴A(0,-3),
∵B(-4,-5),
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{16-4b+c=-5}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{2}}\\{c=-3}\end{array}\right.$,
∴拋物線解析式為y=x2+$\frac{9}{2}$x-3,
(2)存在,
設(shè)P(m,m2+$\frac{9}{2}$m-3),(m<0),
∴D(m,$\frac{1}{2}$m-3),
∴PD=|m2+4m|
∵PD∥AO,
∴當(dāng)PD=OA=3,故存在以O(shè),A,P,D為頂點(diǎn)的平行四邊形,
∴|m2+4m|=3,
①當(dāng)m2+4m=3時(shí),
∴m1=-2-$\sqrt{7}$,m2=-2+$\sqrt{7}$(舍),
∴m2+$\frac{9}{2}$m-3=-1-$\frac{\sqrt{7}}{2}$,
∴P(-2-$\sqrt{7}$,-1-$\frac{\sqrt{7}}{2}$),
②當(dāng)m2+4m=-3時(shí),
∴m1=-1,m2=-3,
Ⅰ、m1=-1,
∴m2+$\frac{9}{2}$m-3=-$\frac{13}{2}$,
∴P(-1,-$\frac{13}{2}$),
Ⅱ、m2=-3,
∴m2+$\frac{9}{2}$m-3=-$\frac{15}{2}$,
∴P(-3,-$\frac{15}{2}$),
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2-$\sqrt{7}$,-1-$\frac{\sqrt{7}}{2}$),(-1,-$\frac{13}{2}$),(-3,-$\frac{15}{2}$).
(3)方法一,如圖,

∵△PAM為等腰直角三角形,
∴∠BAP=45°,
∵直線AP可以看做是直線AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°所得,
設(shè)直線AP解析式為y=kx-3,
∵直線AB解析式為y=$\frac{1}{2}$x-3,
∴k=$\frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}}$=3,
∴直線AP解析式為y=3x-3,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-3}\\{y={x}^{2}+\frac{9}{2}x-3}\end{array}\right.$,
∴x1=0(舍)x2=-$\frac{3}{2}$
當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時(shí),y=-$\frac{15}{2}$,
∴P(-$\frac{3}{2}$,-$\frac{15}{2}$).
方法二:如圖,

∵直線AB解析式為y=$\frac{1}{2}$x-3,
∴直線AB與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為E(6,0),
過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AB交x軸于點(diǎn)F,
∵A(0,-3),
∴直線AF解析式為y=-2x-3,
∴直線AF與x軸的交點(diǎn)為F(-$\frac{3}{2}$,0),
∴AE=3$\sqrt{5}$,AF=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$,
過(guò)點(diǎn)A作∠EAF的角平分線交x軸于點(diǎn)G,與拋物線相較于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB,
∴∠EAG=45°,
∴∠BAP=45°,
即:△PAM為等腰直角三角形.
設(shè)點(diǎn)G(m,0),
∴EG=6-m.FG=m+$\frac{3}{2}$,
根據(jù)角平分線定理得,$\frac{AE}{AF}=\frac{EG}{FG}$,
∴$\frac{3\sqrt{5}}{\frac{3}{2}\sqrt{5}}=\frac{6-m}{m+\frac{3}{2}}$,
∴m=1,
∴G(1,0),
∴直線AG解析式為y=3x-3①,
∵拋物線解析式為y=x2+$\frac{9}{2}$x-3②,
聯(lián)立①②得,x=0(舍)或x=-$\frac{3}{2}$,
∴y=-$\frac{15}{2}$,
∴P(-$\frac{3}{2}$,-$\frac{15}{2}$).

方法3,如圖1,過(guò)點(diǎn)M作直線l∥y軸,過(guò)點(diǎn)A作AN⊥l于N,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l于Q,
∵PM⊥AB且AM=PM,
易知△PMQ≌△AMN,∴MN=PQ,MQ=AN,
設(shè)M(m,$\frac{1}{2}$m-3),
∴Q(m,m2+$\frac{9}{2}$m-3),
∴PQ=MN=-$\frac{1}{2}$m=xP-xQ=xP-m,
∴xP=$\frac{m}{2}$,
MQ=AN=-m=yM-yP=$\frac{1}{2}$m-3-yP,
∴yP=$\frac{3}{2}$m-3,
∴$\frac{3}{2}$m-3=($\frac{1}{2}$m)2+$\frac{9}{2}$×$\frac{1}{2}$m-3,
∴m=-3或m=0(舍),
∴P(-$\frac{3}{2}$,-$\frac{15}{2}$).

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,平行四邊形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),解本題的關(guān)鍵是確定以O(shè),A,P,D為頂點(diǎn)的平行四邊形時(shí),OA和PD是對(duì)邊,也是本題的難點(diǎn).

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