【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣6,0).如圖1,正方形OBCD的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)C在第二象限.現(xiàn)將正方形OBCD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)角α得到正方形OEFG.
(1)如圖2,若α=60°,OE=OA,求直線EF的函數(shù)表達(dá)式.
(2)若α為銳角,tanα= ,當(dāng)AE取得最小值時,求正方形OEFG的面積.
(3)當(dāng)正方形OEFG的頂點(diǎn)F落在y軸上時,直線AE與直線FG相交于點(diǎn)P,△OEP的其中兩邊之比能否為 :1?若能,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,試說明理由
【答案】
(1)
解:如圖1,
過點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H,EF與y軸的交點(diǎn)為M.
∵OE=OA,α=60°,
∴△AEO為正三角形,
∴OH=3,EH= =3 .
∴E(﹣3,3 ).
∵∠AOM=90°,
∴∠EOM=30°.
在Rt△EOM中,
∵cos∠EOM= ,
即 = ,
∴OM=4 .
∴M(0,4 ).
設(shè)直線EF的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+4 ,
∵該直線過點(diǎn)E(﹣3,3 ),
∴﹣3k+4 =3 ,
解得k= ,
所以,直線EF的函數(shù)表達(dá)式為y= x+4
(2)
解:如圖2,
射線OQ與OA的夾角為α( α為銳角,tanα ).
無論正方形邊長為多少,繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角α后得到正方
形OEFG的頂點(diǎn)E在射線OQ上,
∴當(dāng)AE⊥OQ時,線段AE的長最。
在Rt△AOE中,設(shè)AE=a,則OE=2a,
∴a2+(2a)2=62,解得a1= ,a2=﹣ (舍去),
∴OE=2a=
,∴S正方形OEFG=OE2=
(3)
解:設(shè)正方形邊長為m.
當(dāng)點(diǎn)F落在y軸正半軸時.
如圖3,
當(dāng)P與F重合時,△PEO是等腰直角三角形,有 = 或 = .
在Rt△AOP中,∠APO=45°,OP=OA=6,
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(0,6).
在圖3的基礎(chǔ)上,
當(dāng)減小正方形邊長時,
點(diǎn)P在邊FG 上,△OEP的其中兩邊之比不可能為 :1;
當(dāng)增加正方形邊長時,存在 = (圖4)和 = (圖5)兩種情況.
如圖4,
△EFP是等腰直角三角形,
有 = ,
即 = ,
此時有AP∥OF.
在Rt△AOE中,∠AOE=45°,
∴OE= OA=6 ,
∴PE= OE=12,PA=PE+AE=18,
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(﹣6,18).
如圖5,
過P作PR⊥x軸于點(diǎn)R,延長PG交x軸于點(diǎn)H.設(shè)PF=n.
在Rt△POG中,PO2=PG2+OG2=m2+(m+n)2=2m2+2mn+n2,
在Rt△PEF中,PE2=PF2+EF2=m2+n2,
當(dāng) = 時,
∴PO2=2PE2.
∴2m2+2mn+n2=2(m2+n2),得n=2m.
∵EO∥PH,
∴△AOE∽△AHP,
∴ = ,
∴AH=4OA=24,
即OH=18,
∴m=9 .
在等腰Rt△PRH中,PR=HR= PH=36,
∴OR=RH﹣OH=18,
∴點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(﹣18,36).
當(dāng)點(diǎn)F落在y軸負(fù)半軸時,
如圖6,
P與A重合時,在Rt△POG中,OP= OG,
又∵正方形OGFE中,OG=OE,
∴OP= OE.
∴點(diǎn)P4的坐標(biāo)為(﹣6,0).
在圖6的基礎(chǔ)上,當(dāng)正方形邊長減小時,△OEP的其中
兩邊之比不可能為 :1;當(dāng)正方形邊長增加時,存在 = (圖7)這一種情況.
如圖7,過P作PR⊥x軸于點(diǎn)R,
設(shè)PG=n.
在Rt△OPG中,PO2=PG2+OG2=n2+m2,
在Rt△PEF中,PE2=PF2+FE2=(m+n )2+m2=2m2+2mn+n2.
當(dāng) = 時,
∴PE2=2PO2.
∴2m2+2mn+n2=2n2+2m2,
∴n=2m,
由于NG=OG=m,則PN=NG=m,
∵OE∥PN,∴△AOE∽△ANP,∴ =1,
即AN=OA=6.
在等腰Rt△ONG中,ON= m,
∴12= m,
∴m=6 ,
在等腰Rt△PRN中,RN=PR=6,
∴點(diǎn)P5的坐標(biāo)為(﹣18,6).
所以,△OEP的其中兩邊的比能為 :1,點(diǎn)P的坐標(biāo)是:P1(0,6),P2(﹣6,18),
P3(﹣18,36),P4(﹣6,0),P5(﹣18,6)
【解析】(1)先判斷出△AEO為正三角形,再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出OM即可;(2)判斷出當(dāng)AE⊥OQ時,線段AE的長最小,用勾股定理計(jì)算即可;(3)由△OEP的其中兩邊之比為 :1分三種情況進(jìn)行計(jì)算即可.此題是正方形的性質(zhì)題,主要考查了正方形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,解本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.
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【題目】如圖,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于點(diǎn)D,PE⊥OB于點(diǎn)E.如果點(diǎn)M是OP的中點(diǎn),則DM的長是( 。
A. 2 B. C. D. 2
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【題目】如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上,AC⊥x軸,BD⊥x軸,垂足C,D分別在x軸的正、負(fù)半軸上,CD=k,已知AB=2AC,E是AB的中點(diǎn),且△BCE的面積是△ADE的面積的2倍,則k的值是 .
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【題目】某校在踐行“社會主義核心價值觀”演講比賽中,對名列前20名的選手的綜合分?jǐn)?shù)m進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表所示:
組號 | 分組 | 頻數(shù) |
一 | 6≤m<7 | 2 |
二 | 7≤m<8 | 7 |
三 | 8≤m<9 | a |
四 | 9≤m≤10 | 2 |
(1)求a的值;
(2)若用扇形圖來描述,求分?jǐn)?shù)在8≤m<9內(nèi)所對應(yīng)的扇形圖的圓心角大;
(3)將在第一組內(nèi)的兩名選手記為:A1、A2 , 在第四組內(nèi)的兩名選手記為:B1、B2 , 從第一組和第四組中隨機(jī)選取2名選手進(jìn)行調(diào)研座談,求第一組至少有1名選手被選中的概率(用樹狀圖或列表法列出所有可能結(jié)果).
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【題目】九年級(3)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在第x天(1≤x≤90,且x為整數(shù))的售價與銷售量的相關(guān)信息如下.已知商品的進(jìn)價為30元/件,設(shè)該商品的售價為y(單位:元/件),每天的銷售量為p(單位:件),每天的銷售利潤為w(單位:元).
時間x(天) | 1 | 30 | 60 | 90 |
每天銷售量p(件) | 198 | 140 | 80 | 20 |
(1)求出w與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)問銷售該商品第幾天時,當(dāng)天的銷售利潤最大?并求出最大利潤;
(3)該商品在銷售過程中,共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元?請直接寫出結(jié)果.
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【題目】如圖,△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC 交 AC 于 G,DM//BC 交∠ABC 的外角平分線于 M, 交 AB、AC 于 F、E,下列結(jié)論:①MB⊥BD;②FD=FB;③MD=2CE. 其中一定正確的有( )
A. 0 個 B. 1 個 C. 2 個 D. 3 個
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【題目】已知如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A、B、C分別為坐標(biāo)軸上上的三個點(diǎn),且OA=1,OB=3,OC=4,
(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在一點(diǎn)P,使得以以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)若點(diǎn)M為該拋物線上一動點(diǎn),在(2)的條件下,請求出當(dāng)|PM﹣AM|的最大值時點(diǎn)M的坐標(biāo),并直接寫出|PM﹣AM|的最大值.
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【題目】已知Rt△ABC中,∠B=90°,AC=20,AB=10,P是邊AC上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn)A、C),過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF∥AC,交AB于點(diǎn)F.設(shè)PC=x,
PE=y.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)是否存在點(diǎn)P使△PEF是Rt△?若存在,求此時的x的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖所示,正方形ABCD對角線AC所在直線上有一點(diǎn)O,OA=AC=2,將正方形繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°,在旋轉(zhuǎn)過程中,正方形掃過的面積是 .
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