Question

5．如圖，?ABCD中，BD是它的一條對(duì)角線，過(guò)A、C兩點(diǎn)作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，延長(zhǎng)AE、CF分別交CD、AB于M、N．
（1）求證：四邊形CMAN是平行四邊形．
（2）已知DE=4，F(xiàn)N=3，求BN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）只要證明CM∥AN，AM∥CN即可．
（2）先證明△DEM≌△BFN得BN=DM，再在Rt△DEM中，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，
∴CM∥AN，AM∥CN，
∴四邊形AMCN是平行四邊形．
（2）∵四邊形AMCN是平行四邊形，
∴CM=AN，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，
在△MDE和△NBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDE=∠NBF}\\{∠DEM=∠NFB=90°}\\{DM=BN}\end{array}\right.$，
∴△MDE≌△NBF，
∴ME=NF=3，
在Rt△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，
∴DM=$\sqrt{D{E}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴BN=DM=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住平行四邊形的判定方法和性質(zhì)，正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．