Question

在圖1至圖3中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點．四邊形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中點是M，F(xiàn)H的中點是P．
（1）如圖1，點A、C、E在同一條直線上，根據(jù)圖形填空：
 ①△BMF是

 

三角形；
②MP與FH的位置關(guān)系是

 

，MP與FH的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（2）將圖1中的CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖2，解答下列問題：
 ①證明：△BMF是等腰三角形；
②（1）中得到的MP與FH的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論；
（3）將圖2中的CE縮短到圖3的情況，（2）中的三個結(jié)論還成立嗎？（成立的不需要說明理由，不成立的需要說明理由）

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得FB=BM=MD=DH，然后利用“邊角邊”證明△FBM和△MDH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得FM=MH，再求出∠FMH=90°，得到FM⊥HM，然后根據(jù)等腰直角三角形的定義證明即可；
（2）連接MB、MD，設(shè)FM與AC交于點Q，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，然后得到四邊形BCDM是平行四邊形并求出∠CBM=∠CDM，再求出∠FBM=∠MDH，然后利用“邊角邊”證明△FBM和△MDH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得FM=MH，全等三角形對應角相等可得∠MFB=∠HMD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AQM=∠FMD，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠FMH=∠FBQ=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的定義證明即可；
（3）證明方法同（2）．

解答：解：（1）△FMH是等腰直角三角形．
∵四邊形BCGF和CDHN都是正方形，點N與點G重合，點M與點C重合，
∴FB=BM=MD=DH，∠FBM=∠MDH=90°，
在△FBM和△MDH中，

FB=DH ∠FBM=∠MDH=90° BM=MD

，
∴△FBM≌△MDH（SAS），
∴FM=MH，
∵∠FMB=∠DMH=45°，
∴∠FMH=90°，
∴FM⊥HM，
∴△FMH是等腰直角三角形；
②∵△FMH是等腰直角三角形，P是斜邊FH的中線，
∴MP⊥FH，MP=

1

2

FH，

（2）①△FMH是等腰直角三角形，
連接MB、MD，如圖2，設(shè)FM與AC交于點Q．
∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點，
∴MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，
∴四邊形BCDM是平行四邊形，
∴∠CBM=∠CDM，
又∵∠FBC=∠HDC，
∴∠FBM=∠MDH，
在△FBM和△MDH中，

MD=BF ∠FBM=∠MDH MB=DH

，
∴△FBM≌△MDH（SAS），
∴FM=MH，且∠MFB=∠HMD，
∵BC∥MD，
∴∠AQM=∠FMD，
∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠AQM-∠MFB=∠FBC=90°，
∴△FMH是等腰直角三角形；
②仍然成立；
∵△FMH是等腰直角三角形，P是斜邊FH的中線，
∴MP⊥FH，MP=

1

2

FH，

（3）三個結(jié)論還成立；
連接MB、MD，如圖3，設(shè)FM與AC交于點P．
∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點，
∴MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH，
∴四邊形BCDM是平行四邊形，
∴∠CBM=∠CDM，
又∵∠FBP=∠HDC，
∴∠FBM=∠MDH，
在△FBM和△MDH中，

MD=BF ∠FBM=∠MDH MB=DH

，
∴△FBM≌△MDH（SAS），
∴FM=MH，且∠MFB=∠HMD，
∵BC∥MD，
∴∠APM=∠FMD，
∴∠FMH=∠FMD-∠HMD=∠APM-∠MFB=∠FBP=90°，
∴△FMH是等腰直角三角形．
∵是斜邊FH的中線，
∴MP⊥FH，MP=

1

2

FH；

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和平行四邊形的解題的關(guān)鍵．