Question

【題目】（閱讀理解）

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，請根據小明的方法思考：

(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是_____.

A.SSS B.SAS C.AAS D.HL

(2)求得AD的取值范圍是______.

A.6＜AD＜8 B.6≤AD≤8 C.1＜AD＜7 D.1≤AD≤7

（感悟）

解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中.

（問題解決）

(3)如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF.求證：AC＝BF.

Answer 1

【答案】(1)B；(2)C；(3)證明見解析.

【解析】

(1)根據AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；

(2)根據全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三邊關系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；

(3)延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，根據SAS證△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根據AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，根據等腰三角形的性質求出即可.

（1）解：在△ADC和△EDB中

，

∴△ADC≌△EDB(SAS)，

故選：B；

（2）解：如圖：

∵由(1)知：△ADC≌△EDB，

∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，

∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，

∴1＜AD＜7，

故選：C.

（3）延長AD到M，使AD＝DM，連接BM，

∵AD是△ABC中線，

∴CD＝BD，

∵在△ADC和△MDB中

∴△ADC≌△MDB，

∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠AFE，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，

∴BF＝BM＝AC，

即AC＝BF.