Question

10．某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，進價為每件40元，每星期可賣出300件；市場調(diào)查反映，如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件．
（1）若調(diào)整后的售價為x元（x為正整數(shù)），每星期銷售的數(shù)量為y件，求y與x的函數(shù)關(guān)系；
（2）設(shè)每星期的利潤為W元，問如何確定銷售價格才能達到最大周利潤；
（3）為了使每周利潤不少于6000元，求售價的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“每漲價1元，每個星期要少賣出10件；每降價1元，每個星期可多賣出20件”列出y與x的函數(shù)關(guān)系．
（2）設(shè)每星期所獲利潤為W，根據(jù)一星期利潤等于每件的利潤×銷售量得到W與x的關(guān)系式；把解析式配成拋物線的頂點式，利用拋物線的最值問題即可得到答案；
（3）分別根據(jù)60≤x≤90、40≤x≤60兩種情況，求出每周利潤不少于6000元時x的范圍即可得．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：漲價時，y=300-10（x-60）（60≤x≤90），
降價時，y=300+20（60-x）（40≤x≤60），
整理得：y=$\left\{\begin{array}{l}{-10x+900}&{（60≤x≤90）}\\{-20x+1500}&{（40≤x≤60）}\end{array}\right.$；

（2）當漲價時，W=（x-40）（-10x+900）
=-10（x-65）²+6250（60≤x≤90），
當x=65時，y的最大值是6250，
當降價時，W=（x-40）（-20x+1500）
=-20（x-57.5）²+6125 （40≤x≤60），
所以定價為：x=57.5（元）時利潤最大，最大值為6125元．
綜合以上兩種情況，定價為65元時可獲得最大利潤為6250元；

（3）當60≤x≤90時，-10（x-65）²+6250=6000，
解得：x=60或x=70，
∴60≤x≤70；
當40≤x≤60時，-20（x-57.5）²+6125=6000，
解得：x=55或x=60，
∴55≤x≤60，
綜上，為了使每周利潤不少于6000元，售價x的范圍是55≤x≤70．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用及一元二次方程的應(yīng)用能力，理解題意分類討論是解題的前提，找到題目蘊含的相等關(guān)系列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．