Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)y=m（x+1）（x﹣2）（m為常數(shù)，且m＞0）與x軸從左至右依次交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn)D在第二象限．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）若∠DBA=30°，設(shè)F為線(xiàn)段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線(xiàn)段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線(xiàn)段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線(xiàn)y=m（x+1）（x﹣2）（m為常數(shù)，且m＞0）與x軸從左至右依次交于A、B兩點(diǎn)，

令y=0，解得x=﹣1或x=2，

則A（﹣1，0），B（2，0），

∵OA=OC，

∴C（0，﹣1），

∵點(diǎn)C（0，﹣1）在拋物線(xiàn)y=m（x+1）（x﹣2）上，

∴m×（0+1）×（0﹣2）=﹣1，

解得m= ．

∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為：y= （x+1）（x﹣2）

（2）

解：∵∠DBA=30°，

∴設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y=﹣ x+b，

∵B（2，0），

∴0=﹣ ×2+b，解得b= ，

故直線(xiàn)BD的解析式為y=﹣ x+ ，

聯(lián)立兩解析式可得 ，

解得 ， ．

則D（﹣ ， ），

如圖，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DK∥x軸，

則∠KDF=∠DBA=30°．

過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DK于點(diǎn)G，則FG= DF．

由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線(xiàn)AF+DF，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=AF+ DF，

∴t=AF+FG，即運(yùn)動(dòng)的時(shí)間值等于折線(xiàn)AF+FG的長(zhǎng)度值．

由垂線(xiàn)段最短可知，折線(xiàn)AF+FG的長(zhǎng)度的最小值為DK與x軸之間的垂線(xiàn)段．

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DK于點(diǎn)H，則t最小=AH，AH與直線(xiàn)BD的交點(diǎn)，即為所求的F點(diǎn)．

∵A點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1，直線(xiàn)BD解析式為：y=﹣ x+ ，

∴y=﹣ ×（﹣1）+ = ，

∴F（﹣1， ）．

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣1， ）時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少

【解析】（1）首先求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，然后根據(jù)OA=OC，求得點(diǎn)D坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)y=m（x+1）（x﹣2）（m為常數(shù)，且m＞0），求得拋物線(xiàn)解析式；（2）由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線(xiàn)AF+DF，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=AF+ DF．如答圖3，作輔助線(xiàn)，將AF+ DF轉(zhuǎn)化為AF+FG；再由垂線(xiàn)段最短，得到垂線(xiàn)段AH與直線(xiàn)BD的交點(diǎn)，即為所求的F點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減�。�