Question

17．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC AD=5cm，BC=8cm，M是CD的中點，P是BC邊上一個動點（P與B，C不重合）連接PM并延長交AD的延長線于Q．
①求證：△PCM≌△QDM；
②當(dāng)P在B，C之間運動到什么位置時，四邊形ABPQ是平行四邊形？

Answer 1

分析 ①要證明△PCM≌△QDM，只要找出全等的條件即可，由題意可得到有兩個角及其夾邊對應(yīng)相等，從而可以證明結(jié)論；
②由平行四邊形的性質(zhì)可以得到當(dāng)P在B，C之間運動到什么位置時，四邊形ABPQ是平行四邊形．

解答 ①證明：∵AD∥BC，
∴∠C=∠QDM，
∵點M是CD的中點，
∴MD=MC，
在△PCM和△QDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠QDM}\\{CM=DM}\\{∠CMP=∠DMQ}\end{array}\right.$，
∴△PCM≌△QDM（ASA）；
②設(shè)PC=x時，四邊形ABPQ是平行四邊形，
∴AQ=BP，
∵△PCM≌△QDM，
∴CP=DQ，
∵AD=5cm，BC=8cm，
∴AQ=5+x，BP=8-x，
則5+x=8-x，得x=1.5，
即當(dāng)點P運動到距離點C1.5cm時，四邊形ABPQ是平行四邊形．

點評 本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．