Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸、y軸正半軸上，且OB=2OA，OBOC=OCOA=2.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿BA向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P、Q均停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(t＞0)秒，線段PQ的長(zhǎng)度為y，用含t的式子表示y，并寫出相應(yīng)的t的范圍；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)P作x軸的垂線PM，PM=PQ，是否存在t值使點(diǎn)O為PQ中點(diǎn)? 若存在求t值并求出此時(shí)△CMQ的面積.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）（2）見解析（3）8或16

【解析】

（1）由OBOC=OCOA=2可得OB﹣OA=4，結(jié)合OB=2OA可得出OA、OB的長(zhǎng)度，從而得出OC的長(zhǎng)度，寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；（2）分別求出P、Q兩點(diǎn)相遇的時(shí)間、Q點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)的時(shí)間，寫出不同的時(shí)間范圍內(nèi)，PQ的長(zhǎng)度y與時(shí)間t的關(guān)系式即可；（3）O為P、Q的中點(diǎn)，即OP=OQ，將OP、OQ用含t的式子表示，列方程，解出t，然后畫圖，由于不確定M點(diǎn)位于x軸上方或者下方，所以進(jìn)行分類討論，利用割補(bǔ)法分別求出△CMQ的面積.

（1）∵OB﹣OC=OC﹣OA=2，

∴OB﹣OA=4，

∵OB=2OA，

∴OA=4，

∴OB=8，OC=6，

∴C（0，6）；

（2）由（1）知：AB=OA+OB=12，

∵點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿BA向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t＞0）秒時(shí)，AP=t，BQ=3t，

當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)的t的值為：12÷（1+3）=3秒，

∵當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P、Q均停止運(yùn)動(dòng)，

∴t的最大值為12÷3=4秒；

①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，如圖1，

PQ=AB﹣AP﹣QB=12﹣t﹣3t=12﹣4t，

即y=12﹣4t（0＜t≤3）；

②當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖2，

PQ=AP+BQ﹣AB=4t﹣12，

即y=4t﹣12（3＜t≤4）；

（3）存在t值使點(diǎn)O為PQ中點(diǎn)，

∵點(diǎn)O為PQ中點(diǎn)，

∴0＜t≤3，OP=OQ，即OA﹣AP=OB﹣BQ，

∴4﹣t=8﹣3t，解得：t=2，

當(dāng)t=2時(shí)，AP=2，OP=2，OQ=2，PQ=4，PM=PQ=4，

①點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，如圖3，

過點(diǎn)C作CN⊥PM，得：四邊形CNPQ是梯形，

∵S△CMQ=S梯形CNPQ﹣S△CNM﹣S△PQM，

∴S△CMQ=(CN+PQ)×PN﹣CNMN﹣PMPQ

=×(OP+PQ)×OC﹣×OP×（OC﹣PM）﹣×4×4

=×(2+4)×-×2×(6﹣4) ﹣8

=18﹣2﹣8=8；

②點(diǎn)M在x軸下方，如圖4．過點(diǎn)C作CN⊥PM，得：四邊形CNPQ是梯形，

∵S△CMQ=S梯形CNPQ+S△PQM-S△CNM，

∴S△CMQ=（CN+PQ）PN+PQPM﹣MNCN

=×（OP+PQ）×OC+×4×4﹣（OC+PM）OP

=×（2+4）×6+8﹣×（6+4）×2

=×6×6+8﹣×10×2

=18+8﹣10=16．

∴△CMQ的面積為：8或16．