Question

【題目】已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c(a<0)與x軸交于點(diǎn)A(-2，0)和點(diǎn)B，與y軸交于C，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝ ．

（1）求a、b滿(mǎn)足的關(guān)系式；

（2）若點(diǎn)D為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，連接CD，DB，BC，S△BCD＝ ．

①求拋物線(xiàn)的解析式；

②點(diǎn)Ｍ是第一象限內(nèi)對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Ｍ作MN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，線(xiàn)段MN上有一點(diǎn)H，若∠HBA＋∠MAB＝90°，求證：HN的長(zhǎng)為定值．

Answer 1

【答案】（1）a＋b＝0；（2）① y＝a(x＋2)(x－3)；②見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸公式即可求出a、b的關(guān)系；

（2）①先求出拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用交點(diǎn)式設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)S△BCD＝ 求出a即可；

②先證△BNH ∽△MNA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，設(shè)M(t，－t2＋t＋6)，則N(t，0)，代入計(jì)算即可．

（1）∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝，

∴－＝，

即b＝－a，

∴a、b滿(mǎn)足的關(guān)系式為a＋b＝0

（2）①∵拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝，

且拋物線(xiàn)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)，

∴拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)．

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝a(x＋2)(x－3)，

即y＝ax2－ax－6a，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－6a，

∴C(0，－6a)，

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx＋m，

將B(3，0)，C(0，－6a)代入直線(xiàn)BC的解析式得，

，解得，

∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝2ax－6a

如圖，設(shè)直線(xiàn)BC交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)E，

∴E(，－5a)，D(，－)，

∴DE＝－a－(－5a)＝－a，

∵S△BCD＝S△BDE＋S△CED

＝DE·(xB－xC)

＝×(－)×3

＝－，

∵S△BCD＝，

∴a＝－1，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝－x2＋x＋6

②如圖，

∵A(－2，0)，B (3，0)，MN⊥x軸，

∴∠HNB ＝∠ANM ＝90°，

∴∠BHN ＋∠HBN ＝90°，

又∵∠HBA＋∠MAB＝90°，

∴∠BHN ＝∠MAB，

∴△BNH ∽△MNA，

∴＝

設(shè)M(t，－t2＋t＋6)，則N(t，0)，

∴＝，

∴HN＝＝＝1，

∴HN的長(zhǎng)為定值