Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，且點A在點B的左側(cè)，直線y=﹣x﹣1與拋物線交于A，C兩點，其中點C的橫坐標(biāo)為2．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）P是線段AC上的一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點E，求線段PE長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3．（2）當(dāng)m=時，PE取最大值，最大值為．

【解析】分析: （1）根據(jù)點C在x軸上求得點A的坐標(biāo)，再根據(jù)點C的橫坐標(biāo)為2求出點C的縱坐標(biāo)，把A（-1，0），B（3，0）代入二次函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，-m-1）（-1≤m≤2），則點E的坐標(biāo)為（m，m2-2m-3），進而可得出PE=-m2+m+2=-（m- ）2+ ，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

詳解:

（1）當(dāng)y=0時，有﹣x﹣1=0，

解得：x=﹣1，

∴點A的坐標(biāo)為（﹣1，0）；

當(dāng)x=2時，y=﹣x﹣1=﹣3，

∴點C的坐標(biāo)為（2，﹣3）．

將A（﹣1，0）、C（2，﹣3）代入y=x2+bx+c，得：，

解得：，

∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），則點E的坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），

∴PE=﹣m﹣1﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+．

∵﹣1＜0，

∴當(dāng)m=時，PE取最大值，最大值為．

點睛: 本題考查了拋物線與x軸的交點、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的最值以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；解題的關(guān)鍵是：（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出點A、C的坐標(biāo)；（2）用含m的代數(shù)式表示出PE的值．