Question

【題目】附加題,已知：矩形，，動點(diǎn)從點(diǎn)開始向點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)速度為每秒1個單位，以為對稱軸，把折疊，所得與矩形重疊部分面積為，運(yùn)動時間為秒.

（1）當(dāng)運(yùn)動到第幾秒時點(diǎn)恰好落在上；

（2）求關(guān)于的關(guān)系式，以及的取值范圍；

（3）在第幾秒時重疊部分面積是矩形面積的；

（4）連接，以為對稱軸，將作軸對稱變換，得到，當(dāng)為何值時，點(diǎn)在同一直線上？

Answer 1

【答案】（1）第2秒時；（2）；（3）第4秒時；（4）=1或4

【解析】

（1）先畫出符合題意的圖形如圖1，根據(jù)題意和軸對稱的性質(zhì)可判定四邊形為正方形，可得BP的長，進(jìn)而可得答案；

（2）分兩種情況：①當(dāng)時，如圖2，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：，進(jìn)而可得y與t的關(guān)系式；②當(dāng)時，如圖3，由折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可推出，設(shè)，然后在直角△中利用勾股定理即可求得x與t的關(guān)系，進(jìn)一步利用三角形的面積公式即可求出y與t的關(guān)系式；

（3）在（2）題的基礎(chǔ)上，分兩種情況列出方程，解方程即得結(jié)果；

（4）如圖4，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，進(jìn)一步可得，進(jìn)而可推出，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于t的方程，解方程即可求出結(jié)果.

解：（1）當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時，如圖1，由折疊的性質(zhì)可得：，

∵四邊形為矩形，∴，

∴四邊形為正方形，∴，

∵動點(diǎn)速度為每秒1個單位，∴，

即當(dāng)運(yùn)動到第2秒時點(diǎn)恰好落在上；

（2）分兩種情況：

①當(dāng)時，如圖2，，由折疊得：，

∴；

②當(dāng)時，如圖3，由折疊得：，

∵，∴，∴，∴，

設(shè)，則，

在直角△中，由勾股定理得：，解得：，

∴，

綜上所述：；

（3）①當(dāng)時，，則（舍去），

②當(dāng)時，，解得：（舍去），，

綜上所述：在第4秒時，重疊部分面積是矩形面積的；

（4）如圖4，點(diǎn)在同一直線上，由折疊得：，

∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，∴，解得：，

∴當(dāng)=1或4時，點(diǎn)在同一直線上.