Question

【題目】已知：如圖，△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC邊上，且BD=BA，過(guò)點(diǎn)B畫AD的垂線交AC于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，AO為半徑畫圓．

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為8，tan∠C= ，求線段AB的長(zhǎng)，sin∠ADB的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD，

∵BA=BD，BO⊥AD，

∴∠ABO=∠DBO，

在△ABO和△DBO中，

，

∴△ABO≌△DBO（SAS），

∴OD=OA．∠ODB=∠OAB=90°，

∴BD⊥OD，

∴BC是⊙O的切線

（2）解：∵在RT△ODC中，CD= =6，

∴OC=10，

∴AC=18，

在RT△ABC中，AB=ACtan∠C=18× =24，

∵∠ADB=∠DAB=∠AOB，

∴sin∠ADB=sin∠AOB= =

【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)三線合一，由SAS得到△ABO≌△DBO，得到BD⊥OD，得到BC是⊙O的切線；（2）根據(jù)三角函數(shù)值，求出OC、AC的值，根據(jù)三角函數(shù)值和勾股定理求出sin∠ADB的值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)，掌握切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及對(duì)解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．