Question

17．如圖，已知一次函數(shù)y=$\frac{3}{2}$x-3與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象相交于點(diǎn)A（4，n），與x軸相交于點(diǎn)B．
（1）求n和k的值；
（2）觀察反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象，當(dāng)y≥-2時(shí)，請(qǐng)直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）以AB為邊作菱形ABCD，使點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在第一象限，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（4，n）代入一次函數(shù)y=$\frac{3}{2}$x-3，得到n的值為3；再把點(diǎn)A（4，3）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，得到k的值為12；
（2）根據(jù)反比函數(shù)的性質(zhì)即可得到當(dāng)y≥-2時(shí)，自變量x的取值范圍；
（3）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），過點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F，根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{13}$，根據(jù)AAS可得△ABE≌△DCF，根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（4，n）代入一次函數(shù)y=$\frac{3}{2}$x-3，可得n=$\frac{3}{2}$×4-3=3；
把點(diǎn)A（4，3）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，可得3=$\frac{k}{4}$，
解得k=12；

（2）當(dāng)y=-2時(shí)，-2=$\frac{12}{x}$，解得x=-6．
故當(dāng)y≥-2時(shí)，自變量x的取值范圍是x≤-6或x＞0；

（3）∵一次函數(shù)y=$\frac{3}{2}$x-3與x軸相交于點(diǎn)B，
∴$\frac{3}{2}$x-3=0，
解得x=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
如圖，過點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E，
過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F，
∵A（4，3），B（2，0），
∴OE=4，AE=3，OB=2，
∴BE=OE-OB=4-2=2，
在Rt△ABE中，
AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CD=BC=$\sqrt{13}$，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∵AE⊥x軸，DF⊥x軸，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在△ABE與△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DFC}\\{∠ABE=∠DCF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴CF=BE=2，DF=AE=3，
∴OF=OB+BC+CF=2+$\sqrt{13}$+2=4+$\sqrt{13}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4+$\sqrt{13}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．