Question

已知方程ax⁴-（a-3）x²+3a=0的一根小于-2，另外三根皆大于-1，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次方程根的分布

專題：

分析：設(shè)出方程的四個根，降冪把方程轉(zhuǎn)化為方程：ax²-（a-3）x+3a=0的兩根，一個大于2，一根在0-1之間，進一步利用根的判別式求得a的取值范圍，分類探討，得出答案即可．

解答：解：不妨設(shè)4個根為-x₁，x₁，x₂，-x₂；
-x₁＜-2，x₁＞-1，即x₁＞2；
x₂＞-1，-x₂＞-1，即-1＜x₂＜1；
x₁，x₂為方程f（x）=ax²-（a-3）x+3a=0的兩個根，
△=（a-3）²-12a²=-11a²-6a+9＞=0，a＜0或a＞0，

-3-6 3

11

＜a＜

-3+6 3

11

，a＜0或a＞0，
（1）若a＞0，f（-1）＞0，f（1）＜0，f（2）＜0
a+a-3+3a＞0，a＞

3

4

，
a-a+3+3a＜0，a＞-1，
4a-2a+6+3a＜0，a＜-

6

5

，
與題不符；
（2）若a＜0，f（-1）＜0．f（1））＞0．f（2）＞0
a+a-3+3a＜0，a＜

3

4

，
a-a+3+3a＞0，a＜-1，
4a-2a+6+3a＞0，a＞-

6

5

，
即-

6

5

＜a＜-1，
綜合即得結(jié)果為：-

6

5

＜a＜-1．

點評：此題考查一元二次方程跟的分布情況，注意四次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程解決問題．