Question

如圖，AD⊥BD，∠BDC=30°，B是AC的中點，求∠A的余弦．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,解直角三角形

專題：

分析：延長DB至E，使BE=BD，連接CE，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠E=∠ADB，∠BCE=∠A，設(shè)CE=x，利用直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得CD=2x，利用勾股定理列式求出DE，再求出BE，然后利用勾股定理列式求出BC，再利用銳角三角函數(shù)的余弦等于鄰邊比斜邊列式計算即可得解．

解答：解：如圖，延長DB至E，使BE=BD，連接CE，
∵B是AC的中點，
∴AB=BC，
在△ABD和△CBE中，

AB=BC ∠ABD=∠CBE BE=BD

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠E=∠ADB，∠BCE=∠A，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠E=90°，
設(shè)CE=x，∵∠BDC=30°，
∴CD=2CE=2x，
由勾股定理得DE=

(2x)2-x2

=

3

x，
∴BE=

3

2

x，
在Rt△BCE中，BC=

BE2+CE2

=

( 3 2 x)2+x2

=

7

2

x，
∴cos∠A=cos∠BCE=

CE

BC

=

x

7 2 x

=

2 7

7

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形．