Question

9．已知：過△ABC的頂點作直線MN∥AC，D為BC邊上一點，連結(jié)AD，作∠ADE=∠BAC交直線MN于點E，DE交AB于點F（如圖1）．
（1）找出圖中與∠BED相等的角，并證明；
（2）若AB=AC（如圖2），其它條件不變，求證：AD=DE；
（3）若AB=kAC（如圖3），其它條件不變，探究線段AD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（用含k的式子表示）

Answer 1

分析 （1）∠BAD=∠BED，理由為：由MN與AC平行，得到一對內(nèi)錯角相等，再由已知角相等，等量代換得到∠EBA=∠ADE，再由對頂角相等，得到△EBF∽△ADF，利用相似三角形的對應(yīng)角相等即可得證；
（2）以D為圓心，DB為半徑畫弧交AB于Q，則DB=DQ，如圖2所示，利用等邊對等角得到一對角相等，再由AB=AC，得到∠ABC=∠C，進而得到∠BDQ=∠BAC，根據(jù)已知角相等，利用等式的性質(zhì)得到∠BDE=∠QDA，再由DB=DQ，利用AAS得到△BED≌△QAD，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證；
（3）作∠BDQ=∠ADE，交AB于點Q，如圖3所示，利用兩對角相等的三角形相似得到△BED∽△QAD，以及△BDQ∽△BAC，由相似得比例，根據(jù)AB=kAC，即可確定出AD，DE之間的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）∠BAD=∠BED，理由為：

證明：∵MN∥AC，
∴∠EBA=∠BAC，
∵∠BAC=∠ADE，
∴∠EBA=∠ADE，
又∵∠AFD=∠EFB，
∴△EBF∽△ADF，
∴∠BED=∠BAD；
（2）以D為圓心，DB為半徑畫弧交AB于Q，則DB=DQ，

∴∠DBQ=∠DQB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠BDQ=∠BAC，
∵∠ADE=∠BAC，
∴∠BDQ=∠ADE，
∴∠BDQ-∠EDQ=∠ADE-∠EDQ，即∠BDE=∠QDA，
在△BED和△QAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠BAD}\\{∠BDE=∠QDA}\\{BD=QD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△QAD（AAS），
∴AD=DE；
（3）作∠BDQ=∠ADE，交AB于點Q，如圖3所示，

∴∠BDQ-∠EDQ=∠ADE-∠EDQ，即∠BDE=∠ADQ，
∵∠BED=∠BAD，
∴△BED∽△QAD，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{BD}{QD}$，
∵∠ABC=∠QBD，∠BDQ=∠ADE=∠BAC，
∴△BDQ∽△BAC，
∴$\frac{BD}{QD}$=$\frac{BA}{AC}$=k，
∴$\frac{DE}{AD}$=k，即DE=kAD．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．