【題目】如圖,在矩形ABCD中,BC=1,CBD=60°,點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),連接DE,過(guò)點(diǎn)D作DFDE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接EF交CD于點(diǎn)G.

(1)求證:ADE∽△CDF;

(2)求DEF的度數(shù);

(3)設(shè)BE的長(zhǎng)為x,BEF的面積為y.

求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)x為何值時(shí),y有最大值;

當(dāng)y為最大值時(shí),連接BG,請(qǐng)判斷此時(shí)四邊形BGDE的形狀,并說(shuō)明理由.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;

2∠DEF=60°;

3①y=﹣x﹣2+,

當(dāng)x時(shí),y有最大值;

四邊形BGDE是平行四邊形.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ADE=∠CDF,由相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論;

2)解直角三角形得到CD=,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC=1AB=CD=,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論;

3根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CF=3﹣x,根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)的解析式,根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得到結(jié)論;根據(jù)當(dāng)x時(shí),y有最大值,得到BE=,CF=1,BF=2,根據(jù)相似三角形的想得到CG=,于是得到BE=DG,由于BE∥DG,即可得到結(jié)論.

試題解析:(1)在矩形ABCD中,

∵∠A=∠ADC=∠DCB=90°

∴∠A=∠DCF=90°,

∵DF⊥DE

∴∠A=∠EDF=90°,

∴∠ADE=∠CDF,

∴△ADE∽△CDF

2∵BC=1,∠DBC=60°,

∴CD=,

在矩形ABCD中,

∵AD=BC=1AB=CD=,

∵△ADE∽△CDF,

,

∵tan∠DEF=

=,

∴∠DEF=60°

3①∵BE=x,

∴AE=﹣x,

∵△ADE∽△CDF,

∴CF=3﹣x,

∴BF=BC+CF=4﹣x,

∴y=BEBF=x4﹣x=﹣x2+2x

∵y=﹣x2+2x=﹣x﹣2+,

當(dāng)x時(shí),y有最大值;

②y為最大值時(shí),此時(shí)四邊形BGDE是平行四邊形,

當(dāng)x時(shí),y有最大值,

∴BE=,CF=1BF=2

∵CG∥BE,

∴△CFG∽△BFE,

,

∴CG=

∴DG=,

∴BE=DG,∵BE∥DG,

四邊形BGDE是平行四邊形.

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