Question

如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線 經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C，對稱軸為直線l：，該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P在直線l上，求出使△PAC的周長最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M在此拋物線上，點(diǎn)N在y軸上，以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，直接寫出所有滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

 

Answer 1

（1）證明：∵∠C=90°，∠BAP=90°

∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，

又∵∠CBO=∠ABP，

∴∠BOC=∠ABP，

∵∠BOC=∠AOP，

∴∠AOP=∠ABP，

∴AP=AO；

（2）證明：如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，

∵∠CBO=∠ABP，

∴CO=DO，

∵AE=OC，

∴AE=OD，

∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，

∴∠AOD=∠PAE，

在△AOD和△PAE中，

，

∴△AOD≌△PAE（SAS），

∴∠AEP=∠ADO=90°

∴PE⊥AO；

（3）解：設(shè)AE=OC=3k，

∵AE=AC，∴AC=8k，

∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k，

∴OA=OE+AE=5k．

由（1）可知，AP=AO=5k．

如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，

∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．

在Rt△AOD中，AD===4k．

∴BD=AB﹣AD=10﹣4k．

∵OD∥AP，

∴，即

∵AB=10，PE=AD，

∴PE=AD=4K，BD=AB﹣AD=10﹣4k，

由∠CBO=∠ABP，根據(jù)軸對稱BC=BD=10﹣4k，

∵∠BOC=∠EOP，∠C=∠PEO=90°，

∴△BCO∽△PEO，

∴=，即 =，

解得k=1．

∴BD=10﹣4k=6，OD=3k=3，

在Rt△BDO中，由勾股定理得：

BO===3．