Question

已知AO⊥BO，OB＜OA＜2OB，在AO上取一點C使AC=BO，在BO上取一點D使BD=CO，連接AD、BC交于P．求證：∠APC=45°．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：作BE⊥OB，且BE=BO，連接DE交BC于Q，如圖，先利用“SAS”證明△BOC≌△EBD，則∠2=∠1，BC=DE，易得∠1+∠3=90°，則∠BQE=90°，由于AC=OB，而BE=BO，則AC=BE，而AC∥BE，于是可證明四邊形ACBE為平行四邊形，則AE∥BC，AE=BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AED=∠BQE=90°，AE=DE，則△AED為等腰直角三角形，得到∠EAD=45°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠APC=∠EAD=45°．

解答：證明：作BE⊥OB，且BE=BO，連接DE交BC于Q，如圖，
∵AO⊥BO，BE⊥BC，
∴∠COB=∠DBE=90°，
在△BOC和△EBD中，

OC=BD ∠COB=∠DBE BO=EB

，
∴△BOC≌△EBD（SAS），
∴∠2=∠1，BC=DE，
而∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠BQE=90°，
∵AC=OB，
而BE=BO，
∴AC=BE，
∵AO⊥BO，BE⊥BC，
∴AC∥BE，
∴四邊形ACBE為平行四邊形，
∴AE∥BC，AE=BC
∴∠AED=∠BQE=90°，AE=DE，
∴△AED為等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，
∴∠APC=∠EAD=45°．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．