Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，1），點(diǎn)B（0，4）．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)C（m，n）在該二次函數(shù)圖象上．

①當(dāng)m＝﹣1時(shí)，求n的值；

②當(dāng)m≤x≤3時(shí)，n最大值為5，最小值為1，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+5，頂點(diǎn)為（1，5）；（2）①n＝1；②﹣1≤m≤1

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

（2）①把x＝﹣1代入（1）中求得的解析式求得函數(shù)y的值，即可求得n的值；

②把y＝1代入拋物線解析式求得對(duì)應(yīng)的x的值，然后根據(jù)圖象即可求得m的取值范圍．

解：（1）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，1)，點(diǎn)B(0，4)．

∴，解得，

∴該二次函數(shù)為y＝﹣x2+2x+4，

∵y＝﹣(x﹣1)2+5，

∴頂點(diǎn)為(1，5)；

（2）∵點(diǎn)C(m，n)在該二次函數(shù)圖象上，

①當(dāng)m＝﹣1時(shí)，則C(﹣1，n)，

把C(﹣1，n)代入y＝﹣x2+2x+4得，

n=-1-2+4=1，

∴n＝1；

②∵y＝﹣(x﹣1)2+5，

∴當(dāng)x=3時(shí)，y＝﹣(3﹣1)2+5=1，拋物線對(duì)稱軸是直線x=1，函數(shù)的最大值是5，

∴點(diǎn)(3，1)關(guān)于關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是(-1，1)，拋物線的頂點(diǎn)為(1，5)．

∵當(dāng)m≤x≤3時(shí)，n最大值為5，最小值為1，

∴m的取值范圍是-1≤m≤1．