Question

【題目】問題背景：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1：將矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△ACD．并且量AB＝4cm，AC＝8cm，問題解決：

（1）將圖1中的△ACD以點(diǎn)為A旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向能轉(zhuǎn)∠α，使∠α＝∠BAC，得到如圖2所示的△AC'D，過點(diǎn)C作AC'的平行線，與DC'的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則四邊形ACEC'的形狀是　 　．

（2）縝密小組將圖1中的△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使B、A、D三點(diǎn)在同一條直線上，得到如圖3所示的△AC'D，連接CC'，取CC'的中點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使FG＝AF，連接CG、C'G，得到四邊形ACGC'，發(fā)現(xiàn)它是正方形，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論．

實(shí)踐探究：（3）創(chuàng)新小組在縝密小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，進(jìn)行如下操作：將△ABC沿著BD方向平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，此時(shí)A點(diǎn)平移至A'點(diǎn)，A'C與BC'相交于點(diǎn)H，如圖4所示，連接CC'，試求tan∠C'CH的值．

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）詳見解析；（3）

【解析】

(1)先判斷出∠ACD＝∠BAC，進(jìn)而判斷出∠BAC＝∠AC'D，進(jìn)而判斷出∠CAC'＝∠AC'D，即可得結(jié)論；

(2)先判斷出∠CAC'＝90°，再判斷出AG⊥CC'，CF＝C'F，進(jìn)而判斷出四邊形ACGC'是菱形，即可得出結(jié)論；

(3)先判斷出∠ACB＝30°，進(jìn)而求出BH，AH，即可求出CH，C'H，即可得出結(jié)論．

(1)在如圖1中，

∵AC是矩形ABCD的對(duì)角線，

∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，

∴∠ACD＝∠BAC，

在圖2中，由旋轉(zhuǎn)知，AC'＝AC，∠AC'D＝∠ACD，

∴∠BAC＝∠AC'D，

∵∠CAC'＝∠BAC，

∴∠CAC'＝∠AC'D，

∴AC∥C'E，

∵AC'∥CE，

∴四邊形ACEC'是平行四邊形，

∵AC＝AC'，

∴ACEC'是菱形，

故答案為：菱形；

(2)在圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，

∴∠BAC+∠ACB＝90°

在圖3中，由旋轉(zhuǎn)知，∠DAC'＝∠DAC，

∴∠ACB＝∠DAC'，

∴∠BAC+∠DAC'＝90°，

∵點(diǎn)D，A，B在同一條直線上，

∴∠CAC'＝90°，

由旋轉(zhuǎn)知，AC＝AC'，

∵點(diǎn)F是CC'的中點(diǎn)，

∴AG⊥CC'，CF＝C'F，

∵AF＝FG，

∴四邊形ACGC'是平行四邊形，

∵AG⊥CC'，

∴ACGC'是菱形，

∵∠CAC'＝90°，

∴菱形ACGC'是正方形；

(3)在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝8，

∴AC'＝AC＝8，AD＝BC＝4，sin∠ACB＝，

∴∠ACB＝30°，

由(2)結(jié)合平移知，∠CHC'＝90°，

在Rt△BCH中，∠ACB＝30°，

∴BH＝BCsin30°＝2，

∴C'H＝BC'﹣BH＝8﹣2，

在Rt△ABH中，AH＝AB＝2，

∴CH＝AC﹣AH＝8﹣2＝6，

在Rt△CHC'中，tan∠C′CH＝．