【題目】在等腰ABC中,B=90°,AM是ABC的角平分線,過點M作MNAC于點N,EMF=135°.將EMF繞點M旋轉(zhuǎn),使EMF的兩邊交直線AB于點E,交直線AC于點F,請解答下列問題:

(1)當EMF繞點M旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時,求證:BE+CF=BM;

(2)當EMF繞點M旋轉(zhuǎn)到如圖,圖的位置時,請分別寫出線段BE,CF,BM之間的數(shù)量關(guān)系,不需要證明;

(3)在(1)和(2)的條件下,tan∠BEM=,AN=+1,則BM=   ,CF=   

【答案】(1)證明見解析(2)見解析(3)1,1+或1﹣

【解析】

(1)由等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分線,過點M作MN⊥AC于點N,可得BM=MN,BMN=135°,又∠EMF=135°,可證明的△BME≌△NMF,可得BE=NF,NC=NM=BM進而得出結(jié)論;

(2)①如圖時,同(1)可證△BME≌△NMF,可得BECF=BM,

②如圖時,同(1)可證△BME≌△NMF,可得CFBE=BM;

(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中,

可得RtABMRtANM,后分別求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的長,結(jié)合(1)(2)的結(jié)論對圖①②③進行討論可得CF的長.

(1)證明:∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠BAC=∠C=45°,

AM是BAC的平分線,MN⊥AC,

∴BM=MN,

在四邊形ABMN中,∠,BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°,

∵∠ENF=135°,,

∴∠BME=∠NMF,

∴△BME≌△NMF,

∴BE=NF,

∵MN⊥AC,∠C=45°,

∴∠CMN=∠C=45°,

∴NC=NM=BM,

∵CN=CF+NF,

∴BE+CF=BM;

(2)針對圖2,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,

∴BE=NF,

∵MN⊥AC,∠C=45°,

∴∠CMN=∠C=45°

∴NC=NM=BM,

∵NC=NF﹣CF,

∴BE﹣CF=BM;

針對圖3,同(1)的方法得,△BME≌△NMF,

∴BE=NF,

∵MN⊥AC,∠C=45°,

∴∠CMN=∠C=45°,

∴NC=NM=BM,

∵NC=CF﹣NF,

∴CF﹣BE=BM;

(3)在RtABM和RtANM中,,

∴Rt△ABM≌Rt△ANM(HL),

∴AB=AN=+1,

在RtABC中,AC=AB=+1,

∴AC=AB=2+

∴CN=AC﹣AN=2+﹣(+1)=1,

在RtCMN中,CM=CN=

∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1,

在RtBME中,tan∠BEM===,

∴BE=,

∴①由(1)知,如圖1,BE+CF=BM,

∴CF=BM﹣BE=1﹣

由(2)知,如圖2,由tan∠BEM=,

此種情況不成立;

由(2)知,如圖3,CF﹣BE=BM,

∴CF=BM+BE=1+,

故答案為1,1+或1﹣

練習冊系列答案
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【題目】如圖,在直角三角形ABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8,點M是AB上的一點,點N是CB上的一點.

(1)若3BM=4CN.

如圖1,當CN=時,判斷MN與AC的位置關(guān)系,并說明理由;

如圖2,連接AN,CM,當CAN與CMB中的一個角相等時,求BM的值.

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(1)求證:BD平分

(2)設,,求之間的函數(shù)關(guān)系式;

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(2)請補全條形統(tǒng)計圖;

(3)在扇形統(tǒng)計圖中,最喜歡植物園的學生人數(shù)所對應扇形的圓心角是   度;

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(1)請求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不需要寫出自變量的取值范圍);

(2)若書店購進甲、乙兩種圖書均不少于1套,則該書店有幾種進貨方案?

(3)在(1)和(2)的條件下,根據(jù)市場調(diào)查,書店決定將三種圖書的售價作如下調(diào)整:甲種圖書的售價不變,乙種圖書的售價上調(diào)a(a為正整數(shù))元,丙種圖書的售價下調(diào)a元,這樣三種圖書全部售出后,所獲得的利潤比(2)中某方案的利潤多出20元,請直接寫出書店是按哪種方案進的貨及a的值.

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