Question

【題目】如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)M是AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是CB上的一點(diǎn)．

（1）若3BM=4CN．

①如圖1，當(dāng)CN=時(shí)，判斷MN與AC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②如圖2，連接AN，CM，當(dāng)∠CAN與△CMB中的一個(gè)角相等時(shí)，求BM的值．

（2）當(dāng)MN⊥AB時(shí)，將△NMB沿直線MN翻折得到△NMF，點(diǎn)B落在射線BA上的F處，設(shè)MB=x，△NMF與△ABC重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式及x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①MN∥AC；②BM=4或6；（2）．

【解析】

（1）①結(jié)論：MN∥AC．只要證明=即可；

②分兩種情形當(dāng)∠CAN=∠B時(shí)，當(dāng)∠CAN=∠MCB時(shí)，分別構(gòu)建方程求解即可；

（2）分兩種情形：①如圖3﹣1，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)F在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別利用相似三角形的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)即可；

（1）①在直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10．

∵3BM=4CN，∴=．

∵BM=，∴BN=BC﹣CN=8﹣=，∴====，∴=，∴MN∥AC，②∵∠CMB＞∠CAB＞∠CAN，∴∠CAN≠∠CAB，設(shè)CN=3k，BM=4k，當(dāng)∠CAN=∠B時(shí)，可得△CAN∽△CBA，∴=，∴=，∴k=，∴BM=6．

當(dāng)∠CAN=∠MCB時(shí)，如圖2中，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥CB，可得△BMH∽△BAC，∴==，∴==，∴MH=k，BH=k，∴CH=8﹣k．

∵∠CAN=∠MCB，∴tan∠CAN=tan∠MCB．

∵=，∴=，∴k=1或k=0（舍去），∴k=1，∴BM=4．

綜上所述：BM=4或6．

（2）如圖3﹣1，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)．

∵BM=x，△BMN∽△BCA，∴=，∴=，∴MN=x，BN=x，∴y=×x×x=x2（0＜x≤5）；

如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)F在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CL∥BF交ON的延長(zhǎng)線于點(diǎn)L，∴△CLN∽△BFN，∴=．

∵△BMN∽△BCA，∴=，∴=，∴BN=x，CN=8﹣x，∴=，∴CL=﹣﹣2x．

∵△CLO∽△AFO，∴=，∴=，∴CO=﹣2x），∴y=S△ABC﹣S△BMN﹣S△CON=24﹣x2﹣（8﹣x）﹣2x），∴y=﹣x2+x﹣（5＜x≤）．

綜上所述： ．