Question

【題目】如圖1，一根木棒AB，斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，當(dāng)木棒A端沿NO向下滑動(dòng)時(shí)，同時(shí)B端沿射線OM向右滑動(dòng)，實(shí)踐發(fā)現(xiàn)木棒的中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是一個(gè)優(yōu)美的幾何圖形，我們把這樣的點(diǎn)叫優(yōu)美點(diǎn)．如果木棒AB長為4，與地面的傾斜角∠ABO＝60°．

（1）當(dāng)木棒A端沿NO向下滑動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，同時(shí)B端沿射線OM向右滑動(dòng)到B′時(shí)，木棒的中點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長為多少？

（2）若點(diǎn)P為OB上由點(diǎn)O向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的一運(yùn)動(dòng)點(diǎn)，連接AP．

①如圖2，設(shè)AP的中點(diǎn)為G，問點(diǎn)G是不是優(yōu)美點(diǎn)，如是，請(qǐng)求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中G所經(jīng)過的路徑長．

②如圖3，過點(diǎn)B作BR⊥AP，垂足為點(diǎn)R．點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)R是不是優(yōu)美點(diǎn)，如是，請(qǐng)求出點(diǎn)R所經(jīng)過的路徑長．

（3）如圖4，若點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，連接PQ，S為PQ的中點(diǎn)，則在PQ的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)S經(jīng)過的路徑長為多少？（直接寫結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）π；（2）①1，②π；（3）2

【解析】

（1）由題意OP＝AB＝2，推出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是，利用弧長公式求解即可．

（2）①如圖2中，取AO，AB的中點(diǎn)E，F，連接EF．點(diǎn)G是優(yōu)美點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡是△AOB的中位線EF．

②如圖3中，點(diǎn)R是優(yōu)美點(diǎn)，點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)軌跡是，圓心是AB的中點(diǎn)K，連接OK．

（3）首先證明PQ∥AB，推出PQ的中點(diǎn)S的運(yùn)動(dòng)軌跡是Rt△AOB的斜邊AB上的中線OK．

解：（1）連接OP．

在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AB＝4，PA＝PB，

∴OP＝AB＝2，

∵OP＝PB＝2，∠ABO＝60°，

∴△OPB是等邊三角形，

∴∠POB＝60°，

由題意點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是，

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑的長＝＝π．

（2）①如圖2中，取AO，AB的中點(diǎn)E，F，連接EF．

點(diǎn)G是優(yōu)美點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡是△AOB的中位線EF．

∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，

∴OB＝AB＝2，

∵AE＝EO，AF＝FB，

∴EF＝OB＝1，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中G所經(jīng)過的路徑長為1．

②如圖3中，點(diǎn)R是優(yōu)美點(diǎn)，

∵AR⊥BR，

∴∠ARB＝90°，

∴點(diǎn)R在AB為直徑的圓上，點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)軌跡是，圓心是AB的中點(diǎn)K，連接OK．

∴點(diǎn)R所經(jīng)過的路徑長＝＝π．

（3）

∵OA＝，OB＝2，AQ＝t，BP＝t，

∴

∴PQ∥AB，

∴PQ的中點(diǎn)S的運(yùn)動(dòng)軌跡是Rt△AOB的斜邊AB上的中線OK，

∴點(diǎn)S經(jīng)過的路徑長為AB＝2．