【題目】如圖,拋物線y=-x2-x+與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸于點(diǎn)C,已知點(diǎn)D(0,-).
(1)求直線AC的解析式;
(2)如圖1,P為直線AC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PBD的面積最大時(shí),過P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q,M為拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn),過M作y軸的垂線,垂足為點(diǎn)N,連接PM、NQ,求PM+MN+NQ的最小值;
(3)在(2)問的條件下,將得到的△PBQ沿PB翻折得到△PBQ′,將△PBQ′沿直線BD平移,記平移中的△PBQ′為△P′B′Q″,在平移過程中,設(shè)直線P′B′與x軸交于點(diǎn)E,則是否存在這樣的點(diǎn)E,使得△B′EQ″為等腰三角形?若存在,求此時(shí)OE的長.
【答案】(1)直線AC的表達(dá)式為;(2)的最小值為;(3)或或或.
【解析】分析:(1)求出兩點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可解決問題;
過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BD于點(diǎn)F, 設(shè)點(diǎn) ,則,表示出的長度,根據(jù),構(gòu)建出二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.
分三種情況進(jìn)行討論即可.
詳解:(1)
、、
設(shè)直線AC的表達(dá)式為,將、代入解析式:
可得 則直線AC的表達(dá)式為 ;
(2)可得直線BD的解析式為,過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BD于點(diǎn)F,
設(shè)點(diǎn) ,則.
,
.
當(dāng),即時(shí),最大;
則,過點(diǎn)P作對(duì)稱軸的垂線,垂足為點(diǎn),可得
作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),連接,交軸與點(diǎn),
再過點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線,垂足為點(diǎn),即、為所求點(diǎn).
此時(shí)
,則最小值為 ;
(3)當(dāng)時(shí),或
當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AD,BC邊上的點(diǎn),且AE=CF.
(1)求證:四邊形BFDE是平行四邊形;
(2)若AB=12,AE=5,cos∠BFE=,求矩形ABCD的周長.
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【題目】某班級(jí)為獎(jiǎng)勵(lì)參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員,分別用160元和120元購買了相同數(shù)量的甲、乙兩種獎(jiǎng)品,其中每件甲種獎(jiǎng)品比每件乙種獎(jiǎng)品貴4元.
請(qǐng)你根據(jù)以上信息,提出一個(gè)用分式方程解決的問題,并寫出解答過程.
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【題目】如圖,等邊△AOB的邊長為4,點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿OA以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒.將線段BP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得點(diǎn)C,點(diǎn)C隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),連接CP、CA.在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中,當(dāng)△PCA為直角三角形時(shí)t的值為___________.
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【題目】如圖,小山的頂部是一塊平地,在這塊平地上有一高壓輸電的鐵架,小山的斜坡的坡度,斜坡BD的長是50米,在山坡的坡底B處測(cè)得鐵架頂端A的仰角為,在山坡的坡頂D處測(cè)得鐵架頂端A的仰角為,(1)求小山的高度;(2)求鐵架的高度。(結(jié)果保留根號(hào))
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,AC是弦,直線EF經(jīng)過點(diǎn)C,AD⊥EF于點(diǎn)D,∠DAC=∠BAC.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2,∠ACD=30°,求圖中陰影部分的面積.
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【題目】如圖,一居民樓底部B與山腳P位于同一水平線上,小李在P處測(cè)得居民樓頂A的仰角為60°,然后他從P處沿坡角為45°的山坡向上走到C處,這時(shí),PC=30 m,點(diǎn)C與點(diǎn)A恰好在同一水平線上,點(diǎn)A、B、P、C在同一平面內(nèi).
(1)求居民樓AB的高度;
(2)求C、A之間的距離.(結(jié)果保留根號(hào))
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是直徑,⊙O的切線PC交BA的延長線于點(diǎn)P,OF∥BC,交AC于點(diǎn)E,交PC于點(diǎn)F,連接AF.
(1)求證:AF是⊙O的切線;
(2)已知⊙O的半徑為4,AF=3,求線段AC的長.
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【題目】某商家將一種電視機(jī)按進(jìn)價(jià)提高35%后定價(jià),然后打出“九折酬賓,外送50元出租車費(fèi)”的廣告,結(jié)果每臺(tái)電視機(jī)獲利208元.
(1)求每臺(tái)電視機(jī)的進(jìn)價(jià);
(2)另有一家商家出售同類產(chǎn)品,按進(jìn)價(jià)提高40%,然后打出“八折酬賓”的廣告,如果你想買這種產(chǎn)品,應(yīng)選擇哪一個(gè)商家?
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