Question

已知，點P是Rt△ABC斜邊AB上一動點（不與A、B重合），分別過A、B向直線CP作垂線，垂足分別為E、F、Q為斜邊AB的中點．
（1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是

 

，QE與QF的數(shù)量關系是

 

；
（2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關系，并給予證明；
（3）如圖3，當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并給予證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）根據(jù)AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延長EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EQ=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中點性質(zhì)得出即可；
（3）延長EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EQ=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中點性質(zhì)得出即可．

解答：解：（1）如圖1，
當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是AE∥BF，QE與QF的數(shù)量關系是AE=BF，
理由是：∵Q為AB的中點，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中

∠AQE=∠BQF ∠AEQ=∠BFQ AQ=BQ

∴△AEQ≌△BFQ，
∴AE=BF，
故答案為：AE∥BF，AE=BF；

（2）
QE=QF，
證明：延長EQ交BF于D，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中

∠AQE=∠BQD ∠AEQ=∠BDQ AQ=BQ

∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF；，

（3）當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結(jié)論成立，
證明：延長EQ交FB于D，如圖3，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中

∠AQE=∠BQD ∠AEQ=∠BDQ AQ=BQ

∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)的應用，解此題的關鍵是求出△AEQ≌△BDQ，用了運動觀點，難度適中．