【題目】如圖,直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=c分別交y軸的正半軸于點C和第一象限的點P,連接PB,得△PCB≌△BOA(O為坐標原點).若拋物線與x軸正半軸交點為點F,設M是點C,F(xiàn)間拋物線上的一點(包括端點),其橫坐標為m.
(1)直接寫出點P的坐標和拋物線的解析式;
(2)當m為何值時,△MAB面積S取得最小值和最大值?請說明理由;
(3)求滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標.
【答案】(1)點P的坐標為(3,4),拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4;(2)當m=0時,S取最小值,最小值為;當m=3時,S取最大值,最大值為5.(3)滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標為(0,4)或(,).
【解析】(1)代入y=c可求出點C、P的坐標,利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A、B的坐標,再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值,進而可得出點P的坐標及拋物線的解析式;
(2)利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出點F的坐標,過點M作ME∥y軸,交直線AB于點E,由點M的橫坐標可得出點M、E的坐標,進而可得出ME的長度,再利用三角形的面積公式可找出S=﹣(m﹣3)2+5,由m的取值范圍結合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及最小值;
(3)分兩種情況考慮:①當點M在線段OP上方時,由CP∥x軸利用平行線的性質(zhì)可得出:當點C、M重合時,∠MPO=∠POA,由此可找出點M的坐標;②當點M在線段OP下方時,在x正半軸取點D,連接DP,使得DO=DP,此時∠DPO=∠POA,設點D的坐標為(n,0),則DO=n,DP=,由DO=DP可求出n的值,進而可得出點D的坐標,由點P、D的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線PD的解析式,再聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組,通過解方程組求出點M的坐標.綜上此題得解.
(1)當y=c時,有c=﹣x2+bx+c,
解得:x1=0,x2=b,
∴點C的坐標為(0,c),點P的坐標為(b,c),
∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點,
∴點A的坐標為(1,0),點B的坐標為(0,3),
∴OB=3,OA=1,BC=c﹣3,CP=b,
∵△PCB≌△BOA,
∴BC=OA,CP=OB,
∴b=3,c=4,
∴點P的坐標為(3,4),拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4;
(2)當y=0時,有﹣x2+3x+4=0,
解得:x1=﹣1,x2=4,
∴點F的坐標為(4,0),
過點M作ME∥y軸,交直線AB于點E,如圖1所示,
∵點M的橫坐標為m(0≤m≤4),
∴點M的坐標為(m,﹣m2+3m+4),點E的坐標為(m,﹣3m+3),
∴ME=﹣m2+3m+4﹣(﹣3m+3)=﹣m2+6m+1,
∴S=OAME=﹣m2+3m+=﹣(m﹣3)2+5,
∵﹣<0,0≤m≤4,
∴當m=0時,S取最小值,最小值為;當m=3時,S取最大值,最大值為5;
(3)①當點M在線段OP上方時,∵CP∥x軸,
∴當點C、M重合時,∠MPO=∠POA,
∴點M的坐標為(0,4);
②當點M在線段OP下方時,在x正半軸取點D,連接DP,使得DO=DP,此時∠DPO=∠POA,
設點
∴n2=(n﹣3)2+16,
解得:n=,
∴點D的坐標為(,0),
設直線PD的解析式為y=kx+a(k≠0),
將P(3,4)、D(,0)代入y=kx+a,
,解得:,
∴直線PD的解析式為y=﹣x+,
聯(lián)立直線PD及拋物線的解析式成方程組,得:,
解得:,.
∴點M的坐標為(,).
綜上所述:滿足∠MPO=∠POA的點M的坐標為(0,4)或(,).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足為點D,M為線段DB上一動點(不包括端點),點N在直線AC左上方且∠NCM=135°,CN=CM,如圖①.
(1)求證:∠ACN=∠AMC;
(2)記△ANC得面積為5,記△ABC得面積為5.求證:;
(3)延長線段AB到點P,使BP=BM,如圖②.探究線段AC與線段DB滿足什么數(shù)量關系時對于滿足條件的任意點M,AN=CP始終成立?(寫出探究過程)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】解答下列各題
(1)如圖1,方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長的正方形,在建立平面直角坐標系后,△ABC的頂點均在格點上,點C的坐標為(4,﹣1).
①作出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1;
②如果P點的縱坐標為3,且P點到直線AA的距離為5,請直接寫出點P的坐標.
(2)我國是世界上嚴重缺水的國家之一為了倡導“節(jié)約用水,從我做起”,小麗同學在她家所在小區(qū)的200住戶中,隨機調(diào)查了10個家庭在2019年的月均用水量(單位:t),并將調(diào)查結果繪成了如下的條形統(tǒng)計圖2
①求這10個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù);
②以上面的樣本平均數(shù)為依據(jù),自來水公司按2019年該小區(qū)戶月均用水量下達了2020年的用水計劃(超計劃要執(zhí)行階梯式標準收費)請計算該小區(qū)2020年的計劃用水量.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,在△ABC中,AB=AC,過AB上一點D作DE∥AC交BC于點E,以E為頂點,ED為一邊,作∠DEF=∠A,另一邊EF交AC于點F.
(1)求證:四邊形ADEF為平行四邊形;
(2)當點D為AB中點時,判斷ADEF的形狀;
(3)延長圖①中的DE到點G,使EG=DE,連接AE,AG,F(xiàn)G,得到圖②,若AD=AG,判斷四邊形AEGF的形狀,并說明理由.
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【題目】情境觀察:
如圖1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分別為D、E,CD與AE交于點F.
①寫出圖1中所有的全等三角形 ;
②線段AF與線段CE的數(shù)量關系是 .
問題探究:
如圖2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足為D,AD與BC交于點E.
求證:AE=2CD.
拓展延伸:
如圖3,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,點D在AC上,∠EDC= ∠BAC,DE⊥CE,垂足為E,DE與BC交于點F.求證:DF=2CE.
要求:請你寫出輔助線的作法,并在圖3中畫出輔助線,不需要證明.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知賣出的糖果數(shù)量x(kg)與售價y(元)的關系如下表:
數(shù)量x(kg) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
售價y(元) | 2+0.1 | 4+0.2 | 6+0.3 | 8+0.4 | 10+0.5 |
(1)這個表格反映了哪兩個變量之間的關系?它們的關系式是什么?
(2)若某顧客付了14.7元,則他購買了多少千克的糖果?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BA=BC,以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E,BC的延長線于⊙O的切線AF交于點F.
(1)求證:∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=2,CE:EB=1:4,求CE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校計劃成立下列學生社團: A.合唱團: B.英語俱樂部: C.動漫創(chuàng)作社; D.文學社:E.航模工作室為了解同學們對上述學生社團的喜愛情況某課題小組在全校學生中隨機抽取了部分同學,進行“你最喜愛的一個學生社團”的調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖.
請根據(jù)以上信息,解決下列問題:
(1)本次接受調(diào)查的學生共有多少人;
(2)補全條形統(tǒng)計圖,扇形統(tǒng)計圖中D選項所對應扇形的圓心角為多少;
(3)若該學校共有學生3000人,估計該學校學生中喜愛合唱團和動漫創(chuàng)作社的總?cè)藬?shù).
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