Question

10．如圖，AB⊥FB，AG⊥EG，垂足分別為B、G，且AB=AG，AE=AF，分別過(guò)點(diǎn)B，G作EF所在直線的垂線，垂足分別為C，D，若BC=DG，CF=4，則DE的長(zhǎng)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 作輔助線構(gòu)建全等三角形和矩形，先證明四邊形CDGB為矩形，再證明△ABC≌△AGD和△CAE≌△DAF，得CE=DF，因此根據(jù)等式的性質(zhì)得出CF=DE，則DE=4．

解答 解：如圖1，連接BG、AC、AD，
∵BC⊥EF，DG⊥EF，
∴BC∥DG，∠BCD=90°，
∵BC=DG，
∴四邊形CDGB為矩形，
∴∠CBG=∠DGB=90°，
∵AB=AG，
∴∠ABG=∠AGB，
∴∠ABC=∠AGD，
在△ABC和△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{∠ABC=∠AGD}\\{BC=DG}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△AGD，
∴AC=AD，
如圖2，過(guò)A作AM⊥EF于M，
∵AE=AF，
∴∠EAM=∠FAM，
∵AC=AD，
∴∠CAM=∠DAM，
∴∠CAM-∠EAM=∠DAM-∠FAM，
即∠CAE=∠DAF，
∴△CAE≌△DAF，
∴CE=DF，
∴CE+EF=DF+EF，
即CF=DE，
∵CF=4，
∴DE=4．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，輔助線的作出是關(guān)鍵，構(gòu)建了兩對(duì)三角形全等，根據(jù)中間量CF=4得出結(jié)論；所以，在幾何題中，如果所求的線段不能直接求出，可以找一個(gè)與它相等的線段來(lái)求．