Question

【題目】已知拋物線C：y＝與直線l：y＝kx+b相交于點(diǎn)A，B，直線l與y軸交于點(diǎn)P．

（1）當(dāng)k＝0時(shí)，求的值；

（2）點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MG⊥直線l于點(diǎn)G，當(dāng)k＝0時(shí)，求的值；

（3）點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MG∥y軸交直線l于點(diǎn)G，當(dāng)k＝2時(shí)，求證：不論b為何實(shí)數(shù)，的值為定值，并求定值；

（4）若將（2）的拋物線改為“y＝ax2”，其他條件不變，則的值還為定值嗎？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析，定值為；（4）為定值，＝|a|．

【解析】

（1）求出拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)距離公式求得線段長度，便可計(jì)算的值；

（2）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)距離公式求得線段長度，進(jìn)而計(jì)算結(jié)果；

（3）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)距離公式求得線段長度，進(jìn)而計(jì)算結(jié)果；

（4）依照前面的解法進(jìn)行計(jì)算便可．

解：（1）當(dāng)k＝0時(shí)，y＝b，

∴OP＝|b|，

∵＝b，

∴x＝±b，

∴A（﹣b，b），B（b，b），

∴AB＝2b，

∴＝＝；

（2）當(dāng)k＝0時(shí)，y＝b，

設(shè)M（x，），

∵MG⊥直線l，

∴MG＝|﹣b|，

∵A（﹣b，0），B（b，0），

∴GA＝|x+b|，GB＝|x﹣b|，

∴＝＝；

（3）當(dāng)k＝2時(shí)，y＝2x+b，

設(shè)M（x，），

∵MG∥y軸，

∴G（x，2x+b），

∴GM＝|﹣2x﹣b|＝，

解方程組得，

或

A（，），B（3+，b+6+），

∴GA＝＝，

GB＝＝，

∴GAGB＝5|x2﹣6x﹣3b|，

∴；

（4）是定值．

當(dāng)k＝0時(shí)，y＝b，

設(shè)M（x，ax2），

∵MG⊥直線l，

∴MG＝|ax2﹣b|，

解方程組得，

或，

∵A（﹣，b），B（，b），

∴GA＝|x+|，GB＝|x﹣|，

∴＝

∴＝|a|為定值．