Question

【題目】如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，連接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，則四邊形APBQ的面積為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BPQ是等邊三角形，由全等三角形的判定可得△ABQ≌△CBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得△APQ是直角三角形，求四邊形的面積轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)特殊三角形的面積即可．

解：連接PQ，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BP=BQ，

又∵∠PBQ=60°，

∴△BPQ是等邊三角形，

∴PQ=BP，

在等邊三角形ABC中，∠CBA=60°，AB=BC，

∴∠ABQ=60°-∠ABP

∠CBP=60°-∠ABP

∴∠ABQ=∠CBP

在△ABQ與△CBP中

，

∴△ABQ≌△CBP(SAS)，

∴AQ=PC，

又∵PA=4，PB=5，PC=3，

∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，

在△APQ中，因?yàn)?/span>，25=16+9，

∴由勾股定理的逆定理可知△APQ是直角三角形，

∴，

故答案為：