【題目】如圖,對稱軸為直線x=的拋物線經(jīng)過點A(6,0)和B(0,4).

(1)求拋物線解析式及頂點坐標;

(2)設點Exy)是拋物線上一動點,且位于第四象限,四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形,求四邊形OEAF的面積Sx之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;

(3)四邊形OEAF的面積為24時,請判斷OEAF是否為菱形?

是否存在點E,使四邊形OEAF為正方形?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1)由拋物線的對稱軸是,可設解析式為

AB兩點坐標代入上式,得

解之,得

故拋物線解析式為,頂點為

2在拋物線上,位于第四象限,且坐標適合

,

y<0,即 y>0,y表示點EOA的距離.

OA的對角線,

因為拋物線與軸的兩個交點是(1,0)的(6,0),所以,自變量

取值范圍是16

根據(jù)題意,當S = 24時,即

化簡,得 解之,得

故所求的點E有兩個,分別為E13,-4),E24,-4).

E13,-4)滿足OE = AE,所以是菱形;

E24,-4)不滿足OE = AE,所以不是菱形.

OAEF,且OA = EF時,是正方形,此時點E的坐標只能是(3,-3).

而坐標為(3,-3)的點不在拋物線上,故不存在這樣的點E,使為正方形.

【解析】1)已知了拋物線的對稱軸解析式,可用頂點式二次函數(shù)通式來設拋物線,然后將A、B兩點坐標代入求解即可.

2)平行四邊形的面積為三角形OEA面積的2倍,因此可根據(jù)E點的橫坐標,用拋物線的解析式求出點的縱坐標,那么E點縱坐標的絕對值即為△OAE的高,由此可根據(jù)三角形的面積公式得出△AOE的面積與x的函數(shù)關系式進而可得出Sx的函數(shù)關系式.

S=24代入Sx的函數(shù)關系式中求出x的值,即可得出E點的坐標和OE,OA的長;如果平行四邊形OEAF是菱形,則需滿足平行四邊形相鄰兩邊的長相等,據(jù)此可判斷出四邊形OEAF是否為菱形.

如果四邊形OEAF是正方形,那么三角形OEA應該是等腰直角三角形,即E點的坐標為(3,﹣3)將其代入拋物線的解析式中即可判斷出是否存在符合條件的E點.

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