Question

【題目】如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，且．

（1）求一次函數(shù)和的表達(dá)式；

（2）在軸上是否存在一點(diǎn)，使得是以為腰的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）反比例函數(shù)的圖象記為曲線，將向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得曲線，則平移至處所掃過(guò)的面積是_________．（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為；一次函數(shù)的解析式為y=2x-5；（2）存在，，，，；（3）27

【解析】

（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求出a，根據(jù)勾股定理求出OA，得到OB的長(zhǎng)，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB，分AB＝AC、BC＝AB兩種情況，根據(jù)勾股定理列方程計(jì)算，得到答案；
（3）分別把x＝1、x＝4代入反比例函數(shù)解析式求出函數(shù)值，求出平行四邊形EFNM的面積，求出C1平移至C2處所掃過(guò)的面積．

解：（1）∵點(diǎn)A（4，3）在反比例函數(shù)的圖象上，

∴a=4×3=12，

∴反比例函數(shù)解析式為；

∵，OA=OB，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，

∴點(diǎn)B（0，-5）．

把點(diǎn)A（4，3）、B（0，-5）代入y=kx+b中，

得：，解得：，

∴一次函數(shù)的解析式為y=2x-5．

（2）存在,

∵點(diǎn)A（4，3），點(diǎn)B（0，-5）

∴

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，0），

①△ABC為等腰三角形，

當(dāng)時(shí)，

則

∴，

∴C的坐標(biāo)為或

②當(dāng)時(shí)，

則

∴，

∴C的坐標(biāo)為或

綜上所述：，，，

（3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)M、N分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)E、F，如圖所示．

令中x＝1，則y＝12，

∴E（1，12）；

令中x＝4，則y＝3，

∴F（4，3），

∵EM∥FN，且EM＝FN，

∴四邊形EMNF為平行四邊形，

∴S＝EM（yEyF）＝3×（123）＝27．

C1平移至C2處所掃過(guò)的面積正好為平行四邊形EMNF的面積．
故答案為：27．